{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Fakultät für Physik\n", "\n", "## Physikalisches Praktikum P1 für Studierende der Physik\n", "\n", "Versuch P1-34, 35, 36 (Stand: Oktober 2023)\n", "\n", "[Raum F2-17](https://labs.physik.kit.edu/img/Praktikum/Lageplan_P1.png)\n", "\n", "\n", "\n", "# Elektrische Messverfahren" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Name: _surname1_ Vorname: _name1_ E\\-Mail: _mail1_\n", "\n", "\\begin{equation*}\n", "\\begin{split}\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "\\end{split}\n", "\\end{equation*}\n", "\n", "Name: _surname2_ Vorname: _name2_ E\\-Mail: _mail2_\n", "\n", "\\begin{equation*}\n", "\\begin{split}\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "\\end{split}\n", "\\end{equation*}\n", "\n", "Gruppennummer: _groupnumber_\n", "\n", "\\begin{equation*}\n", "\\begin{split}\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "\\end{split}\n", "\\end{equation*}\n", "\n", "Betreuer: \n", "\n", "\\begin{equation*}\n", "\\begin{split}\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "\\end{split}\n", "\\end{equation*}\n", "\n", "Versuch durchgeführt am: _date_\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "---\n", "\n", "**Beanstandungen:**\n", "\n", "\\begin{equation*}\n", "\\begin{split}\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "&\\\\\n", "\\end{split}\n", "%\\text{\\vspace{10cm}}\n", "\\end{equation*}\n", "\n", "
\n", "Testiert am: __________________ Testat: __________________\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Hilfsfunktionen. Nicht weiter beachten\n", "from IPython.core.display import Markdown\n", "from IPython.display import display\n", "def M_helper_func(txt):\n", " #print('fr\"'+txt.replace(\"{\",\"{{\").replace(\"}\",\"}}\").replace(\"[!\",\"{\").replace(\"!]\",\"}\")+'\"')\n", " execreturnvalue = \"\"\n", " loc = {}\n", " exec('execreturnvalue = fr\"
'+txt.replace(\"{\",\"{{\").replace(\"}\",\"}}\").replace(\"[!\",\"{\").replace(\"!]\",\"}\")+'
\"', globals(), loc)\n", " display(Markdown(loc[\"execreturnvalue\"]))\n", " return loc[\"execreturnvalue\"]\n", "\n", "from IPython.core.magic import (register_line_magic,\n", " register_cell_magic)\n", "@register_line_magic\n", "def m(line):\n", " M_helper_func(line)\n", "\n", "import os\n", "import numpy as np\n", "from numpy import pi\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "import matplotlib as mpl\n", "import scipy as sci\n", "import kafe2\n", "from uncertainties import ufloat, unumpy\n", "from uncertainties.umath import sqrt as usqrt\n", "mpl.rcParams['figure.dpi'] = 100" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Durchführung\n", "\n", "## Aufgabe 1: Innenwiderstände von Strom- und Spannungsmessgeräten\n", "\n", "### Aufgabe 1.1: Strommessgerät\n", "\n", "Messen Sie den Innenwiderstand $R_{i}^{I}$ des $\\mu\\mathrm{A}$-Multizet Messgeräts im $1\\,\\mathrm{mA}$-Bereich. \n", "\n", " * Schließen Sie hierzu das Strommessinstrument in Reihe mit einem Potentiometer bestehend aus einem festen $1\\,\\mathrm{k\\Omega}$-Widerstand und einem regelbaren $10\\,\\mathrm{k\\Omega}$-Widerstand an eine Gleichspannung von $6\\,\\mathrm{V}$ an. \n", " * Stellen Sie den Messbereich des $\\mu\\mathrm{A}$-Multizet Messgeräts auf $1\\,\\mathrm{mA}$. \n", " * Stellen Sie das Potentiometer so ein, dass das Strommessgerät $1\\,\\mathrm{mA}$ anzeigt. \n", " * Notieren Sie sich den eingestellten Wert des Potentiometers. \n", " * Schalten Sie dann ein Spannungsmessinstrument ($\\mathrm{AV\\Omega}$-Multizet im $0,3\\,\\mathrm{V}$-Bereich) zum Strommessinstrument parallel.\n", "\n", "Berechnen Sie aus den gleichzeitig angezeigten Werten von Strom und Spannung $R_{i}^{I}$.\n", "\n", "---" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Die Spannungsquelle hat im Leerlauf 7.1582V geliefert anstatt der angegebenen 6V" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Der Innenwiderstand des μA-Multizets im 3mA-Bereich beträgt nach unserer Messung $R_i^I =179.69\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $9.64\\,\\Omega$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "# Spannung Quelle Leerlauf 7.1582 V\n", "# TODO: Unsicherheit 1kΩ Widerstand irgendwie einbeziehen\n", "U_11 = 115*10**(-3) # gemessene Spannung hier\n", "ΔU_11 = 0.01*300*10**(-3)# 300mV Skala\n", "I_11 = 0.64*10**(-3) # gemessener Strom hier \n", "ΔI_11 = 0.01*3*10**(-3)# 3mA Bereich #abgelesene Unsicherheit hier \n", "RI_i= U_11/I_11\n", "\n", "ΔRI_i = np.sqrt(I_11**(-2)*ΔU_11**2+(U_11/I_11**2)**2*ΔI_11**2)\n", "%m Der Innenwiderstand des μA-Multizets im 3mA-Bereich beträgt nach unserer Messung $R_i^I =[!RI_i:.2f!]\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!ΔRI_i:.2f!]\\,\\Omega$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 1.2: Spannungsmessgerät\n", "\n", "Berechnen Sie aus den Messdaten von **Aufgabe 1.1** den Innenwiderstand $R_{i}^{U}$ des $\\mathrm{AV\\Omega}$-Multizets im\n", "$0,3\\,\\mathrm{V}$-Bereich. \n", "\n", "- Nehmen Sie dazu an, dass die Parallelschaltung von $R_{i}^{U}$ zu $R_{i}^{I}$ den Gesamtstrom im Stromkreis nur vernachlässigbar ändert. \n", "- Prüfen Sie diese Annahme nachträglich und verbessern Sie in einem zweiten Rechenschritbt mit Hilfe der ersten $R_{i}^{U}$\\-Näherung diesen Wert. Dies ist ein häufig genutztes iteratives Näherungsverfahren, das in diesem Fall die Aufstellung und Lösung einer quadratischen Gleichung ersetzt.\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Mit dem iterativen Verfahren ergibt sich für den Innenwiderstand des AVΩ-Multizets im 300mV-Bereich ein Wert von $R_i^U =310.84\\,\\Omega$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Der Gesamtstrom im Kreis nimmt laut Iterativem Verfahren um $9.96725731895222 \\mu A$ zu.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Ohne betrachtung der Stromzunahme berechnet sich der Widerstand zu $319.4444444444445 \\Omega$, was sehr nah am verbesserten Wert ist. Die Annahme, dass sich der Stromfluss nicht ändert ist also gut.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "#TODO Werte von oben hier rein\n", "R_P = 5.49 * 10**3 #10 Ω Skalenabstände\n", "\n", "I_0 = 1*10**-3\n", "I_ges = 1*10**-3 # Startwert nicht wichtig\n", "RU_i = None\n", "\n", "for i in range(100):\n", " I_diff = I_ges - I_11\n", " RU_i = U_11/I_diff\n", " I_ges = I_0 * (R_P+1000+RI_i) / (R_P+1000+1/(1/RI_i+1/RU_i))\n", " \n", "%m Mit dem iterativen Verfahren ergibt sich für den Innenwiderstand des AVΩ-Multizets im 300mV-Bereich ein Wert von $R_i^U =[!RU_i:.2f!]\\,\\Omega$.\n", "\n", "%m Der Gesamtstrom im Kreis nimmt laut Iterativem Verfahren um $[!(I_ges - I_0)*1E6!] \\mu A$ zu. \n", "%m Ohne betrachtung der Stromzunahme berechnet sich der Widerstand zu $[!U_11/(I_0 - I_11)!] \\Omega$, was sehr nah am verbesserten Wert ist. Die Annahme, dass sich der Stromfluss nicht ändert ist also gut.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Aufgabe 2: Messung ohmscher Widerstände\n", "\n", "### Aufgabe 2.1: Messung mit Strom- und Spannungsmessgerät\n", "\n", "Bestimmen Sie aus Strom- und Spannungsmessungen einen unbekannten Widerstandswert $R_{X}$. Schließen Sie einen $10\\,\\mathrm{k\\Omega}$-Widerstand, den unbekannten Widerstand $R_{X}$ und ein Strommessinstrument (im $1\\,\\mathrm{mA}$-Bereich) in Reihe an eine Gleichspannung von $6\\,\\mathrm{V}$ an. Messen Sie mit einem Spannungsmessinstrument (im $0,3$- oder $1\\,\\mathrm{V}$-Bereich) die folgenden Spannungen:\n", "\n", " * Die Spannung an $R_{X}$ (spannungsrichtige Schaltung).\n", "\n", " * Die Spannung an der Reihenschaltung aus $R_{X}$ und Strommessinstrument (stromrichtige Schaltung).\n", "\n", "Wiederholen Sie beide Messungen, wobei Sie die Rollen des $\\mathrm{\\mu A}$-Multizet und des $\\mathrm{AV\\Omega}$-Multizet Messgerät tauschen. Berechnen Sie aus den vier Wertepaaren jeweils --zunächst ohne und dann mit Berücksichtigung der Instrumenteninnenwiderstände-- den Widerstandswert $R_{X}$. Welchen Innenwiderstand wünscht man sich bei einem Strom- und welchen bei einem Spannungsmessgerät?\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 4, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Ohne berücksichtigung der Innenwiderstände ergeben sich für die vier Messungen die folgenden Widerstände
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "
\n", "\n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "
AufbauWiderstandUnsicherheit
0Spannungsrichtig μA-Multizets=Voltmeter451.13Ω16.50Ω
1Spannungsrichtig μA-Multizets=Ampermeter333.33Ω16.73Ω
2Stromrichtig μA-Multizets=Voltmeter560.61Ω17.37Ω
3Stromrichtig μA-Multizets=Ampermeter675.32Ω31.34Ω
\n", "
" ], "text/plain": [ " Aufbau Widerstand Unsicherheit\n", "0 Spannungsrichtig μA-Multizets=Voltmeter 451.13Ω 16.50Ω\n", "1 Spannungsrichtig μA-Multizets=Ampermeter 333.33Ω 16.73Ω\n", "2 Stromrichtig μA-Multizets=Voltmeter 560.61Ω 17.37Ω\n", "3 Stromrichtig μA-Multizets=Ampermeter 675.32Ω 31.34Ω" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
mit dem Mittelwert 505.10Ω.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die Messunsicherheiten können alle als unabhängige Fehler angenommen werden. Für den Mittleren Widerstand ohne einberechnung der Innenwiderstände ergibt sich eine Unsicherheit von 10.71Ω aus der gausschen Unsicherheitsfortpflanzung vom Mittelwert.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Mit berücksichtigung der Innenwiderstände ergibt sich der Mittelwert 477.28Ω mit einer Unsicherheit auf dem Mittelwert von 13.64Ω.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die einzelnen Widerstände hatten dabei folgende Werte:
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "
\n", "\n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "
AufbauWiderstandUnsicherheit
0Spannungsrichtig μA-Multizets=Voltmeter453.17Ω16.65Ω
1Spannungsrichtig μA-Multizets=Ampermeter500.00Ω37.65Ω
2Stromrichtig μA-Multizets=Voltmeter380.61Ω17.37Ω
3Stromrichtig μA-Multizets=Ampermeter575.32Ω31.34Ω
\n", "
" ], "text/plain": [ " Aufbau Widerstand Unsicherheit\n", "0 Spannungsrichtig μA-Multizets=Voltmeter 453.17Ω 16.65Ω\n", "1 Spannungsrichtig μA-Multizets=Ampermeter 500.00Ω 37.65Ω\n", "2 Stromrichtig μA-Multizets=Voltmeter 380.61Ω 17.37Ω\n", "3 Stromrichtig μA-Multizets=Ampermeter 575.32Ω 31.34Ω" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die Unsicherheiten auf den Innenwiderständen waren nicht angegeben und wurden in der Rechnung vernachlässigt.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Der Mittelwert für den Widerstand $R_x$ stimmt in Rahmen der Messunsicherheit mit dem angegebenen Wert von 470Ω überein. Die einzelnen Ergebnisse der Messungen streuen allerdings sehr breit weswegen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Messung tatsächlich so genau war, wie die Messunsicherheit angibt.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Ein ideales Spannungsmessgerät, hat einen unendlichen Innenwiderstand und isoliert die beiden Eingänge, sodass kein Strom fließt. Ein ideales Ampermeter hat einen Innenwiderstand von 0Ω, sodass der Stromfluss nicht beeinträchtigt wird.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "# Auffbau Version a == Spannungsrichtig\n", "# Auffbau Version b == Stromrichtig\n", "\n", "#Aufbau a:\n", "U_aμ = 0.3 #hier Spannung Version a) des μA-Multizets #Skala 1V\n", "ΔU_aμ = 0.01 * 1\n", "I_aΩ = 0.665*10**-3#hier Strom Version a) des AVΩ-Multizets #Skala 1mA\n", "ΔI_aΩ = 0.01 *1*10**(-3)\n", "\n", "#Tausch Geräte\n", "U_aΩ = 0.21#hier Spannung Version a) des AVΩ-Multizets #Skala 1V\n", "ΔU_aΩ = 0.01 * 1\n", "I_aμ = 0.63*10**(-3)#hier Strom Version a) des μA-Multizets #Skala 1mA\n", "ΔI_aμ = 0.01 *1*10**(-3)\n", "\n", "\n", "#Umbau zu b:\n", "U_bμ = 0.37 #hier Spannung Version b) des μA-Multizets #Skala 1V\n", "ΔU_bμ = 0.01 * 1\n", "I_bΩ = 0.66*10**(-3) #hier Strom Version b) des AVΩ-Multizets #Skala 1mA\n", "ΔI_bΩ = 0.01 *1*10**(-3)\n", "\n", "#Tausch Geräte\n", "U_bΩ = 0.26 #hier Spannung Version b) des AVΩ-Multizets #Skala 1V\n", "ΔU_bΩ = 0.01 * 1\n", "I_bμ = 0.385*10**(-3)#hier Strom Version b) des μA-Multizets #Skala 1mA\n", "ΔI_bμ = 0.01 *1*10**(-3)\n", "\n", "#TODO: Innenwiderstände der Messgeräte für Spannung und Strom\n", "R_Vμ = 100000\n", "R_Iμ = 180\n", "R_VΩ = 1000\n", "R_IΩ = 100\n", "\n", "#erste Version ohne Instrumentenwiderstände\n", "R_x1 = 1/4*(U_aμ/I_aΩ + U_aΩ/I_aμ + U_bμ/I_bΩ + U_bΩ/I_bμ)\n", "%m Ohne berücksichtigung der Innenwiderstände ergeben sich für die vier Messungen die folgenden Widerstände \n", "\n", "td = np.array([[f\"Spannungsrichtig μA-Multizets=Voltmeter\", f\"Spannungsrichtig μA-Multizets=Ampermeter\", f\"Stromrichtig μA-Multizets=Voltmeter\", f\"Stromrichtig μA-Multizets=Ampermeter\"],\n", " [f\"{U_aμ/I_aΩ:.2f}Ω\", f\"{U_aΩ/I_aμ:.2f}Ω\", f\"{U_bμ/I_bΩ:.2f}Ω\", f\"{U_bΩ/I_bμ:.2f}Ω\"],\n", " [f\"{np.sqrt((ΔU_aμ/I_aΩ)**2 + (ΔI_aΩ*U_aμ/I_aΩ**2)**2):.2f}Ω\", f\"{np.sqrt((ΔU_aΩ/I_aμ)**2 + (ΔI_aμ*U_aΩ/I_aμ**2)**2):.2f}Ω\", f\"{np.sqrt((ΔU_bμ/I_bΩ)**2 + (ΔI_bΩ*U_bμ/I_bΩ**2)**2):.2f}Ω\", f\"{np.sqrt((ΔU_bΩ/I_bμ)**2 + (ΔI_bμ*U_bΩ/I_bμ**2)**2):.2f}Ω\"]]).transpose()\n", "\n", "import pandas as pd\n", "df = pd.DataFrame(td, columns=[\"Aufbau\", \"Widerstand\", \"Unsicherheit\"])\n", "display(df)\n", "\n", "%m mit dem Mittelwert [!R_x1:.2f!]Ω.\n", "ΔR_x1 = 1/4*np.sqrt(\n", " (ΔU_aμ/I_aΩ)**2 + \n", " (ΔI_aΩ*U_aμ/I_aΩ**2)**2 + \n", " (ΔU_aΩ/I_aμ)**2 + \n", " (ΔI_aμ*U_aΩ/I_aμ**2)**2 + \n", " (ΔU_bμ/I_bΩ)**2 + \n", " (ΔI_bΩ*U_bμ/I_bΩ**2)**2 + \n", " (ΔU_bΩ/I_bμ)**2 + \n", " (ΔI_bμ*U_bΩ/I_bμ**2)**2)\n", "%m Die Messunsicherheiten können alle als unabhängige Fehler angenommen werden. Für den Mittleren Widerstand ohne einberechnung der Innenwiderstände ergibt sich eine Unsicherheit von [!ΔR_x1:.2f!]Ω aus der gausschen Unsicherheitsfortpflanzung vom Mittelwert.\n", "\n", "#zweite mit Berücksichtigung\n", "R_1 = 1/4*((I_aΩ/U_aμ - 1/R_Vμ)**(-1)+(I_aμ/U_aΩ - 1/R_VΩ)**(-1)+(U_bμ/I_bΩ - R_Iμ)+(U_bΩ/I_bμ - R_IΩ))\n", "ΔR_1 = 1/4*np.sqrt(\n", " (ΔI_aΩ*(I_aΩ/U_aμ - 1/R_Vμ)**-2/U_aμ)**2+\n", " (ΔU_aμ*(I_aΩ/U_aμ - 1/R_Vμ)**-2*I_aΩ/U_aμ**2)**2+\n", " (ΔI_aμ*(I_aμ/U_aΩ - 1/R_VΩ)**-2/U_aΩ)**2+\n", " (ΔU_aΩ*(I_aμ/U_aΩ - 1/R_VΩ)**-2*I_aμ/U_aΩ**2)**2+\n", " (ΔU_bμ/I_bΩ)**2+\n", " (ΔI_bΩ*U_bμ/I_bΩ**2)**2+\n", " (ΔU_bΩ/I_bμ)**2+\n", " (ΔI_bμ*U_bΩ/I_bμ**2)**2)\n", "\n", "td = np.array([[f\"Spannungsrichtig μA-Multizets=Voltmeter\", f\"Spannungsrichtig μA-Multizets=Ampermeter\", f\"Stromrichtig μA-Multizets=Voltmeter\", f\"Stromrichtig μA-Multizets=Ampermeter\"],\n", " [f\"{(I_aΩ/U_aμ - 1/R_Vμ)**(-1):.2f}Ω\", f\"{(I_aμ/U_aΩ - 1/R_VΩ)**(-1):.2f}Ω\", f\"{(U_bμ/I_bΩ - R_Iμ):.2f}Ω\", f\"{(U_bΩ/I_bμ - R_IΩ):.2f}Ω\"],\n", " [f\"{np.sqrt((ΔI_aΩ*(I_aΩ/U_aμ - 1/R_Vμ)**-2/U_aμ)**2+(ΔU_aμ*(I_aΩ/U_aμ - 1/R_Vμ)**-2*I_aΩ/U_aμ**2)**2):.2f}Ω\", f\"{np.sqrt((ΔI_aμ*(I_aμ/U_aΩ - 1/R_VΩ)**-2/U_aΩ)**2+(ΔU_aΩ*(I_aμ/U_aΩ - 1/R_VΩ)**-2*I_aμ/U_aΩ**2)**2):.2f}Ω\", f\"{np.sqrt((ΔU_bμ/I_bΩ)**2+(ΔI_bΩ*U_bμ/I_bΩ**2)**2):.2f}Ω\", f\"{np.sqrt((ΔU_bΩ/I_bμ)**2+(ΔI_bμ*U_bΩ/I_bμ**2)**2):.2f}Ω\"]]).transpose()\n", "\n", "%m Mit berücksichtigung der Innenwiderstände ergibt sich der Mittelwert [!R_1:.2f!]Ω mit einer Unsicherheit auf dem Mittelwert von [!ΔR_1:.2f!]Ω.\n", "\n", "%m Die einzelnen Widerstände hatten dabei folgende Werte:\n", "import pandas as pd\n", "df = pd.DataFrame(td, columns=[\"Aufbau\", \"Widerstand\", \"Unsicherheit\"])\n", "display(df)\n", "\n", "%m Die Unsicherheiten auf den Innenwiderständen waren nicht angegeben und wurden in der Rechnung vernachlässigt.\n", "%m Der Mittelwert für den Widerstand $R_x$ stimmt in Rahmen der Messunsicherheit mit dem angegebenen Wert von 470Ω überein. Die einzelnen Ergebnisse der Messungen streuen allerdings sehr breit weswegen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Messung tatsächlich so genau war, wie die Messunsicherheit angibt. \n", "\n", "%m Ein ideales Spannungsmessgerät, hat einen unendlichen Innenwiderstand und isoliert die beiden Eingänge, sodass kein Strom fließt. Ein ideales Ampermeter hat einen Innenwiderstand von 0Ω, sodass der Stromfluss nicht beeinträchtigt wird." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 2.2: Wheatstonesche Brücke\n", "\n", "Messen Sie den Widerstandswert $R_{X}$ mit Hilfe einer Wheatstoneschen Brückenschaltung. \n", "\n", " * Benutzen Sie hierfür das lineare $1\\,\\mathrm{k\\Omega}$-Potentiometer und den als bekannt angenommenen $1\\,\\mathrm{k\\Omega}$-Widerstand. \n", " * Schalten Sie in die Anschlussleitung zwischen Brücke und der Gleichspannung von $6\\,\\mathrm{V}$ einen Widerstand von $220\\,\\Omega$ als Strombegrenzungswiderstand. \n", " * Verwenden Sie das $\\mathrm{\\mu A}$-Multizet Messinstrument als Nullinstrument in der Brückendiagonalen. \n", " * Wählen Sie anfangs einen unempfindlichen Messbereich (z.B. im $10\\,\\mathrm{V}$-Bereich) und dann zunehmend empfindlichere Messbereiche bis zu $30\\,\\mathrm{mV}$. \n", "\n", "Worin besteht der Vorteil einer Brückenschaltung?\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 5, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Der Vorteil der Wheatstoneschen Brückenschaltung besteht darin, dass der Innenwiderstand des Messgeräte keinen Einfluss auf die Messung hat.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Da nur das Verhältnis der Widerstände von bedeutung ist fällt dire absolute Unsicherheit des Potentiometers weg und nur der Linear-Teil mit 0.25% bleibt relevant.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Somit ergibt sich $R_x = 468.43 \\Omega$ mit einer Unsicherheit von $4.68 \\Omega$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Der Messwert stimmt innerhalb der Messunsicherheit mit dem Angegebenen Wert überein und auch mit dem Messwert aus der vorherigen Messung. Das Ergebnis scheint also Plausibel.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "R_known = 1000\n", "ΔR_known = 0.01 * R_known\n", "Pot_l = 6.81*10**3\n", "Pot_max = 10**4\n", "ΔPot_l = Pot_l*0.0025\n", "\n", "R_x14 = R_known * (Pot_max-Pot_l) / Pot_l\n", "ΔR_x14 = np.sqrt(\n", " (ΔR_known * (Pot_max-Pot_l) / Pot_l)**2 +\n", " (ΔPot_l*R_known/Pot_l**2)**2\n", " )\n", "\n", "%m Der Vorteil der Wheatstoneschen Brückenschaltung besteht darin, dass der Innenwiderstand des Messgeräte keinen Einfluss auf die Messung hat.\n", "\n", "%m Da nur das Verhältnis der Widerstände von bedeutung ist fällt dire absolute Unsicherheit des Potentiometers weg und nur der Linear-Teil mit 0.25% bleibt relevant.\n", "\n", "%m Somit ergibt sich $R_x = [!R_x14:.2f!] \\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!ΔR_x14:.2f!] \\Omega$.\n", "\n", "%m Der Messwert stimmt innerhalb der Messunsicherheit mit dem Angegebenen Wert überein und auch mit dem Messwert aus der vorherigen Messung. Das Ergebnis scheint also Plausibel." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 2.3: Messung mit dem $\\Omega$-Meter\n", "\n", "Messen Sie den Widerstandswert $R_{X}$ mit Hilfe des $\\Omega$-Messbereichs des $\\mathrm{\\mu A}$-Multizet Messgeräts. Wie funktioniert ein solches Ohmmeter? Wie funktioniert ein Ohmmeter mit linearer Skala?\n", "\n", "---" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 6, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
$R_x = 430.00\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $80.00\\,\\Omega$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Das hier ist wirklich nicht viel mehr als ein grober Schätzwert.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "R_x23 = 430\n", "ΔR_x23 = 80 #1% SKE 1 Ω Messbereich\n", "%m $R_x = [!R_x23:.2f!]\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!ΔR_x23:.2f!]\\,\\Omega$. \n", "%m Das hier ist wirklich nicht viel mehr als ein grober Schätzwert." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Das $\\mu A$-Multizet enthält eine Spannungsquelle (einer Batterie) die über die Messkontakte mit dem Ampermeter und dem zu messenden Widerstand in Reihe geschaltet wird. Über das Ohmsche Gesetzt lässt sich der Widerstand aus dem gemessenen Stom bestimmen als $R = \\frac{U_{Batt}}{A} - R_{i,Batt} - R_{i,Multizet}$ mit den Innenwiderständen ${R_i}$. Aus dem antiproportionalen Zusammenhang ergibt sich eine nichtlineare Skala, da die Nadel der Anzeige sich proportional zum fließenden Strom bewegt.\n", "\n", "Ohmmeter mit linearer Skala enthalten eine Konstantstromquelle, die über die Kontakte mit dem zu messende Widerstand verbunden wird. Die abfallende Spannung ist dann nach dem Ohmschen gesetz proportional zur Größe des Widerstands und kann über die Spannungsmessfunktion des Multizets gemessen und entsprechend skaliert angezeigt werden. Für verschiedene Messbereiche können unterschiedliche Konstantstromquellen verwendet werden um die abfallende Spannung im Messbereich des Multizets zu halten." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Aufgabe 3: Messungen an einer Trockenbatterie\n", "\n", "### Aufgabe 3.1: Urspannung mit Kompensationsschaltung\n", "\n", "Messen Sie die Urspannung $U_{0}$ einer Trockenbatterie (von ca. $1,5\\,\\mathrm{V}$) mit Hilfe einer Kompensationsschaltung. \n", "\n", " * Überlegen Sie sich hierzu vorab, wie man mit Hilfe eines Potentiometers eine regelbare Spannungsquelle aufbauen kann. \n", " * Schalten Sie die zu messende Spannung $U_{\\mathrm{Cell}}$ in Reihe mit einer entgegengesetzt gepolten Hilfsspannung $U_{\\mathrm{H}}$ (gemessenen mit dem $\\mathrm{AV\\Omega}$-Multizet Messgerät) und einem empfindlichen Spannungsmessinstrument (wie z.B. dem $\\mathrm{\\mu A}$-Multizet Messgerät, mit Messbereichen zwischen $10\\,\\mathrm{V}$ und $30\\,\\mathrm{mV}$). \n", " * Stellen Sie die Spannung $U_{\\mathrm{H}}$ so ein, dass die Differenzspannung Null, also $U_{\\mathrm{Cell}}=U_{\\mathrm{H}}$ ist. (siehe Schaltskizze 0 in der alten Anleitung). \n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Um eine Regelbare Spannungsquelle mit einem Potentiometer zu erstellen benötigt man eine feste Spannungsquelle, die man an die beiden Endkontakte des Potentiometers anschließt. Die am dritten, mittleren Kontakt anliegende Spannung kann nun über Variation des Potentiometers zwischen 0V und der Spannung der festen Spannungsqulle frei gewählt werden. (Diese Spannung fällt natürlich, wenn Strom über den mittleren Kontakt abgeführt wird.)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 7, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
$U_{0} = 1.46 V$ mit einer Unsicherheit von $0.03 V$. Der Angegebene Wert von $1.5\\,V$ liegt leicht außerhalb des Messunsicherheitsintervalls.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "U_H = 1.46 #hier gemessene Spannung eintragen\n", "#3V Skala\n", "DeltaU = 0\n", "ΔDeltaU = 30*10**-5#1% SKE, je nach Skala dann #30mV Skala\n", "ΔU_H = 3*10**-2 #1% SKE, je nach Skala dann\n", "\n", "U_b = U_H + DeltaU\n", "ΔU_b = np.sqrt(ΔDeltaU**2 + ΔU_H**2) #= ΔU_H + ΔΔU = Unsicherheit der beiden Spannungsmessgeräte\n", "%m $U_{0} = [!U_b:.2f!] V$ mit einer Unsicherheit von $[!ΔU_b:.2f!] V$. Der Angegebene Wert von $1.5\\,V$ liegt leicht außerhalb des Messunsicherheitsintervalls. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Die Messunsicherheit ergibt sich aus der Kombination der beiden Messunsicherheiten von $U_H$ und $ΔU$ da zwar der Messert von $ΔU$ auf 0V eingestellt wird aber der tatsächliche Wert nicht exakt 0V beträgt. Die beiden gemessenen Spannungen haben unabhängigen Messunsicherheiten. Für diese Rechnung wird die Annahme getroffen, dass der durch die Messunsicherheit über das Potentiometer fließende Stom nur zu einer Vernachässigbar kleinen Spannungsänderung am Potentiometer führt." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 3.2: Innenwiderstand\n", "\n", "Messen Sie den Innenwiderstand der Trockenbatterie bei mäßigen Belastungen durch Schaltkreise mit $220\\,\\Omega$, $110\\,\\Omega$, $47\\,\\Omega$ und $22\\,\\Omega$. Beobachten Sie dazu die jeweilige Spannungserniedrigung $\\Delta U$ direkt, mit Hilfe einer Differenzspannungsmethode. Sie können hierzu die Kompensationsschaltung von **Aufgabe 3.1** verwenden, indem Sie nach dem Abgleich im unbelasteten Zustand zum Ablesen von $\\Delta U$ am $\\mathrm{\\mu A}$-Multizet Messgerät den Lastwiderstand kurzzeitig zuschalten.\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Für die Lösung dieser Aufgabe wird wie besprochen angenommen, dass die Spannung am Potentiometer nicht durch Hinzufügen eines Lastwiderstands beeinflusst wird. Da der Innenwiderstand des Messgeräts relativ hoch ist, ist das in angemessen guter Näherung gegeben.\n", "\n", "$R_L$ und $R_i$ bilden einen Spannungsteiler. Die Spannung $\\Delta U$ ist gleich der Spannung die über $R_i$ abfällt, da die über das Potentiometer angelegte Spannung nach dem Anstecken von $R_L$ nicht verändert wird und noch $U_b$ entspricht. Folglich gilt $R_i = \\frac{R_L \\Delta U}{U_b - \\Delta U}$" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 8, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "
\n", "\n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "
Lastwiderstand in ΩInnenwiderstand in ΩUnsicherheit in Ω
022.01.1079140.087200
147.01.7357950.177824
2110.03.3380380.407488
3220.05.9584950.806879
\n", "
" ], "text/plain": [ " Lastwiderstand in Ω Innenwiderstand in Ω Unsicherheit in Ω\n", "0 22.0 1.107914 0.087200\n", "1 47.0 1.735795 0.177824\n", "2 110.0 3.338038 0.407488\n", "3 220.0 5.958495 0.806879" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Wie zu sehen ist, ist der Innenwiderstand alles andere als Konstant. Das Modell einer idealen Spannungsquelle und einem Innenwiderstand kann für die Trockenbatterie also nicht angenommen werden.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "U_b = 1.46\n", "ΔU_b = 0.01*3\n", "R_L = np.array([22,47,110,220])\n", "ΔR_L = np.array([0.01*22,0.01*47,0.01*110,0.01*220]) #Anpassen der Fehler je nach Skala\n", "\n", "DeltaU = np.array([0.07,0.052,0.043,0.0385]) #hier entsprechende Messwerte\n", "ΔDeltaU = 5*10**(-3)\n", "\n", "R_i = R_L*DeltaU/(U_b - DeltaU)\n", "ΔR_i = np.sqrt(\n", " (ΔR_L*DeltaU/(U_b - DeltaU))**2+\n", " (ΔU_b*R_L*DeltaU/(U_b - DeltaU)**2)**2+\n", " (ΔDeltaU*R_L*U_b/(U_b - DeltaU)**2)**2\n", " )\n", "\n", "df = pd.DataFrame(np.array([R_L,R_i,ΔR_i]).transpose(), columns=[\"Lastwiderstand in Ω\", \"Innenwiderstand in Ω\", \"Unsicherheit in Ω\"])\n", "display(df)\n", "\n", "%m Wie zu sehen ist, ist der Innenwiderstand alles andere als Konstant. Das Modell einer idealen Spannungsquelle und einem Innenwiderstand kann für die Trockenbatterie also nicht angenommen werden." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Besser wäre es in diesem Aufbau nach dem Zuschalten der Last erneut $\\Delta U$ auf 0V zu regeln und dadurch die an der Batterie anliegende Spannung zu bestimmen. Dadurch wäre der Einfluss des Innenwiderstandes des Potentiometers minimiert und würde das Ergebnis nicht verfälschen." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Aufgabe 4: Messungen an einer Spule \n", "\n", "### Aufgabe 4.1: Ohmscher Widerstand\n", "\n", "Messen Sie mit Hilfe des $\\Omega$-Messbereiches des $\\mathrm{\\mu A}$-Multizet Messgeräts den ohmschen Widerstand der Ihnen zur Verfügung stehenden Spule bei Gleichstrom. Dieser Widerstand ist ein Teil des bei Wechselstromanwendungen beobachteten Verlustwiderstandes der Spule.\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 9, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
$R_{SpuleG} = 55.00\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $5.00\\,\\Omega$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "R_SpG = 55 \n", "ΔR_SpG = 5\n", "%m $R_{SpuleG} = [!R_SpG:.2f!]\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!ΔR_SpG:.2f!]\\,\\Omega$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 4.2: Induktivität\n", "\n", "Messen Sie bei einer Frequenz von $\\omega/2\\pi=30\\,\\mathrm{Hz}$ die Induktivität $L$ und den Verlustwiderstand $R$ der Spule. Schließen Sie hierzu die Spule in Reihe mit einem $110\\,\\Omega$-Vorwiderstand an den Ihnen zur Verfügung stehenden Sinuswellen-Frequenzgenerator an, dessen Ausgangsspannung im so belasteten Zustand auf etwa $0,2\\,\\mathrm{V}$ eingestellt werden sollte. Aus den gemessenen Spannungswerten am Generator ($U_{G}$), am $110\\,\\Omega$-Widerstand ($U_{W}$) und an der Spule (einschließlich Verlustwiderstand, $U_{S}$) lassen sich anhand eines Zeigerdiagramms in der komplexen Ebene $\\omega$, $L$ und $R$ berechnen. Beachten Sie hierzu die Hinweise zu diesem Versuch.\n", "\n", " ---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Im folgenden Block wird mit den Komplexwertigen Spannungen gerechnet.\n", "\n", "Da alle Bauelemente in Reihe geschaltet sind fließt durch alle der gleiche Strom. Es gilt also\n", "$\\frac{U_s}{R_v + i\\omega L} = \\frac{U_w}{R_w}$. $\\Rightarrow L = \\frac{1}{\\omega i}\\left(\\frac{U_s R_w}{U_w} - R_v\\right)$ wobei L eine reelle Größe ist. Daraus folgt, das auch die rechte Seite reell sein muss. $L = \\frac{1}{\\omega i}\\left(\\frac{Re(U_s) R_w + Im(U_s) R_w}{U_w} - R_v\\right)\\in R \\Leftrightarrow Re(U_s) = \\frac{R_v U_w}{R_w}$.\n", "\n", "\n", "$\\Leftarrow L = \\frac{1}{\\omega i}\\left(\\frac{Im(U_s) R_w}{U_w}\\right)$ wobei ja $|U_s|$ bekannt ist und $Im(U_s) = \\sqrt{|U_s|^2 - Re(U_s)^2} = \\sqrt{|U_s|^2 - \\frac{R_v U_w}{R_w}^2}$. Setzt man das in L ein erhält man $L=\\frac{1}{\\omega U_w} \\sqrt{|U_s|^2R_w^2 - R_v^2U_w^2}$ wobei $U_w = |U_w|$, da $U_w$ über einen Widerstand abfällt." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 10, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Der Verlustwiderstand der Spule beträgt $R_v = 103.01\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $42.15\\,\\Omega$. Das stimmt nicht ganz mit dem Messwert aus der vorherigen Messung überein.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die Induktivität der Spule beträgt $L_{Spule} = 1.07\\,H$ mit einer Unsicherheit von $0.07\\,H$. Damit ist der Messwert noch im Rahmen der Messunsicherheit mit dem Angegebenen Wert von 1H verträglich.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "ω = 29.9957 *2*pi\n", "Δω = 0.01\n", "\n", "R_w = 110\n", "ΔR_w = 0.01*110\n", "\n", "#R_v = 55 # Soll neu berechnet werden\n", "#ΔR_v = 5\n", "\n", "U_w = 0.0755\n", "ΔU_w = 0.01 \n", "\n", "U_s = 0.155\n", "ΔU_s = 0.001\n", "\n", "U_g = 0.201\n", "ΔU_g = 0.001\n", "\n", "from uncertainties import ufloat\n", "from uncertainties.umath import sqrt as usqrt\n", "uω = ufloat(ω, Δω)\n", "uR_w = ufloat(R_w, ΔR_w)\n", "#uR_v = ufloat(R_v, ΔR_v)\n", "uU_w = ufloat(U_w, ΔU_w)\n", "uU_s = ufloat(U_s, ΔU_s)\n", "uU_g = ufloat(U_g, ΔU_g)\n", "\n", "uR_v = (uU_g**2 - uU_w**2 - uU_s**2)/(2*uU_w**2)*uR_w\n", "%m Der Verlustwiderstand der Spule beträgt $R_v = [!uR_v.n:.2f!]\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!uR_v.s:.2f!]\\,\\Omega$. Das stimmt nicht ganz mit dem Messwert aus der vorherigen Messung überein.\n", "\n", "uL_Sp = 1/(uω*uU_w) * usqrt(uU_s**2*uR_w**2 - uR_v**2*uU_w**2)\n", "\n", "%m Die Induktivität der Spule beträgt $L_{Spule} = [!uL_Sp.n:.2f!]\\,H$ mit einer Unsicherheit von $[!uL_Sp.s:.2f!]\\,H$. Damit ist der Messwert noch im Rahmen der Messunsicherheit mit dem Angegebenen Wert von 1H verträglich." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 4.3: Parallelschwingkreis\n", "\n", "Bestimmen Sie die Induktivität $L$, den Verlustwiderstand $R$ und die Kapazität $C$ eines Parallelschwingkreises aus seinem Verhalten im Resonanzfall. Schalten Sie hierzu die Spule und den Kondensator parallel und schließen Sie diesen Schwingkreis über den Vorwiderstand von $1\\,\\mathrm{M\\Omega}$ an den Sinuswellen-Frequenzgenerator an. Verwenden Sie die maximale Ausgangsspannung. Schließen Sie außerdem das Ihnen zur Verfügung stehende Oszilloskop und Keithley Multimeter an (siehe Schaltskizze 1, in der alten Anleitung). Messen Sie dann in Abhängigkeit der Frequenz (im Bereich $100$ bis $400\\,\\mathrm{Hz}$ in $20$- bis $5\\,\\mathrm{Hz}$-Schritten, je nach Resonanznähe die folgenden Größen:\n", "\n", " * Die Spannung $U$ am Resonanzschaltkreis mit dem Multimeter. \n", " * Die Phasenverschiebung ($\\Delta t$) mit dem Oszilloskop. \n", "\n", "Das Multimeter liefert Ihnen auch die genaue Frequenz $\\nu$. Berechnen Sie aus $\\nu$ und $\\Delta t$ die Phase $\\Delta\\phi$. Tragen Sie die Verläufe von $U$ und $\\Delta\\phi$ als Funktion von $\\nu$ auf. Diskutieren Sie den Verlauf der Phase qualitativ. Ermitteln Sie die Resonanzkreisfrequenz $\\omega_{0}$, Halbwertsbreite $\\Delta\\omega$ (aus der Differenz der Kreisfrequenzen, bei denen die Spannung am Schwingkreis halb so groß ist, wie im Maximum der Resonanz) und den Resonanzwiderstand $R_{r}$. \n", "\n", "Aus diesen Kurven erhalten Sie die gefragten Größen, mit Hilfe der Beziehungen: \n", "\n", "$$\n", "C = \\frac{\\sqrt{3}}{\\Delta\\omega\\,R_{r}};\\qquad L = \\frac{1}{\\omega_{0}^{2}\\,C};\\qquad R = \\frac{\\Delta\\omega\\,L}{\\sqrt{3}}\n", "$$\n", "\n", "Zur Ableitung dieser Beziehungen ist $R$ als Serienwiderstand zu $L$ angesetzt worden. Nehmen Sie zunächst an und überprüfen Sie nachträglich, dass Sie die Messung bei quasi konstantem Strom des Generators ausgeführt haben, der durch den $1\\,\\mathrm{M\\Omega}$-Widerstand bestimmt wird.\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 11, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Folgendes sind unsere Messwerte
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "
\n", "\n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "
vUDeltaTddt
0100.80.0138-2.200.20
1110.80.0150-2.000.40
2120.50.0165-1.900.40
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\n", "
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Die Resonanzkreisfrequenz beträgt $ω_0 = 1384.19\\,\\mathrm{Hz}$ mit einer Unsicherheit von $1.50\\,\\mathrm{Hz}$.
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Die Halbwärtsbreite beträgt $Δω = 41.48\\,\\mathrm{Hz}$ mit einer Unsicherheit von $5.00\\,\\mathrm{Hz}$.
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Der Resonanzwiderstand beträgt $R_r = 69.1481\\,\\mathrm{K}\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $0.6934\\,\\mathrm{K}\\Omega$.
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Die Kapazität des Kondensators beträgt $C = 0.6039\\,\\mu\\mathrm{ F}$ mit einer Unsicherheit von $0.0730\\,\\mu\\mathrm{ F}$.
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Die Induktivität der Spule beträgt $L = 0.8643\\,\\mathrm{H}$ mit einer Unsicherheit von $0.1046\\,\\mathrm{H}$.
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Der Widerstand der Spule beträgt $R = 20.6996\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $4.9947\\,Ω$.
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Die gemessene Impedanz ist knapp nicht mehr in der $1\\sigma$ Umgebung um den erwarteten Wert von 1H. Trotzdem ist die Abweichung nur knapp 15% und da die Spule selbst eine Fertigungsungenauigkeit von 10% hat, ist der Messwert innerhalb der Messunsicherheit mit dem erwarteten Wert verträglich.
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Der gemessene Widerstand der Spule ist auch nicht verträglich mit dem in der vorherigen Aufgabe mit dem Multizet bestimmten Wert. An dieser Stelle ist die Messung des Multizets allerdings so ungenau gewesen, dass ein Vergleich hier eigentlich nicht viel Aussagekraft hat.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die gemessene Kapazität des Kondensators stimmt gut mit der Messungin der folgenden Aufgabe überein.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "from scipy import signal\n", "v,U,Deltat,ΔDeltat = np.genfromtxt('Parallelschwingkreis.csv', delimiter=',')[1:].transpose() #Deltat in ms\n", "uDeltat = unumpy.uarray(Deltat * 1E-3, ΔDeltat*1E-3)\n", "uDeltaΦ = v*uDeltat\n", "\n", "U_argmax = np.argmax(U) # Unsicherheit von U_max wird als vernachlässigbar angenommen, da mit dem Multimeter gemessen.\n", "\n", "ω_0 = v[U_argmax]*2*pi\n", "Δω_0 = 1.5 # Schätzwert\n", "uω_0 = ufloat(ω_0, Δω_0)\n", "\n", "Deltaω = sci.signal.peak_widths(U, [U_argmax], rel_height=0.5)[0][0]*2*pi\n", "ΔDeltaω = 5 # Schätzwert\n", "uDeltaω = ufloat(Deltaω, ΔDeltaω)\n", "\n", "uR_vor = ufloat(10**6, 10**6*0.01)\n", "\n", "U_gen = 2.70\n", "ΔU_gen = 0.002\n", "uU_gen = ufloat(U_gen, ΔU_gen)\n", "uR_r = uR_vor*U[U_argmax]/(uU_gen)\n", "\n", "fig = plt.figure()\n", "ax = fig.add_subplot(111)\n", "U_line = ax.plot(v, U, \"r-\", label=\"U\" )\n", "ax2 = ax.twinx()\n", "DeltaΦ_line = ax2.plot(v, unumpy.nominal_values(uDeltaΦ), \"g-\", label=\"$\\Delta\\Phi$\")\n", "ax2.fill_between(v, unumpy.nominal_values(uDeltaΦ)-unumpy.std_devs(uDeltaΦ), unumpy.nominal_values(uDeltaΦ)+unumpy.std_devs(uDeltaΦ), color=\"green\", alpha=0.25)\n", "\n", "lns = U_line+DeltaΦ_line\n", "labs = [l.get_label() for l in lns]\n", "ax.legend(lns, labs, loc=0)\n", "\n", "ax.set_xlabel(\"$\\\\nu$ in Hz\")\n", "ax.set_ylabel(r\"Spannung in V\")\n", "ax2.set_ylabel(r\"Phase\")\n", "\n", "ax.axvline(ω_0/(2*pi))\n", "ax.axhline(np.max(U)/2, label=\"Halbes Maximum\", color=\"gray\")\n", "\n", "plt.show()\n", "\n", "%m Die Resonanzkreisfrequenz beträgt $ω_0 = [!uω_0.n:.2f!]\\,\\mathrm{Hz}$ mit einer Unsicherheit von $[!uω_0.s:.2f!]\\,\\mathrm{Hz}$.\n", "\n", "%m Die Halbwärtsbreite beträgt $Δω = [!uDeltaω.n:.2f!]\\,\\mathrm{Hz}$ mit einer Unsicherheit von $[!uDeltaω.s:.2f!]\\,\\mathrm{Hz}$.\n", "\n", "%m Der Resonanzwiderstand beträgt $R_r = [!uR_r.n*10**-3:.4f!]\\,\\mathrm{K}\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!uR_r.s*10**-3:.4f!]\\,\\mathrm{K}\\Omega$.\n", "\n", "uC_P =np.sqrt(3)*(uDeltaω)**(-1)*(uR_r)**(-1)\n", "%m Die Kapazität des Kondensators beträgt $C = [!uC_P.n*10**6:.4f!]\\,\\mu\\mathrm{ F}$ mit einer Unsicherheit von $[!uC_P.s*10**6:.4f!]\\,\\mu\\mathrm{ F}$.\n", "\n", "uL_P = (uω_0**2 * uC_P)**(-1)\n", "%m Die Induktivität der Spule beträgt $L = [!uL_P.n:.4f!]\\,\\mathrm{H}$ mit einer Unsicherheit von $[!uL_P.s:.4f!]\\,\\mathrm{H}$.\n", "\n", "uR_P = uDeltaω*uL_P*(3)**(-1/2)\n", "\n", "%m Der Widerstand der Spule beträgt $R = [!uR_P.n:.4f!]\\,\\Omega$ mit einer Unsicherheit von $[!uR_P.s:.4f!]\\,Ω$.\n", "\n", "%m Die gemessene Impedanz ist knapp nicht mehr in der $$1\\sigma$ Umgebung um den erwarteten Wert von 1H. Trotzdem ist die Abweichung nur knapp 15% und da die Spule selbst eine Fertigungsungenauigkeit von 10% hat, ist der Messwert innerhalb der Messunsicherheit mit dem erwarteten Wert verträglich.\n", "%m Der gemessene Widerstand der Spule ist auch nicht verträglich mit dem in der vorherigen Aufgabe mit dem Multizet bestimmten Wert. An dieser Stelle ist die Messung des Multizets allerdings so ungenau gewesen, dass ein Vergleich hier eigentlich nicht viel Aussagekraft hat.\n", "%m Die gemessene Kapazität des Kondensators stimmt gut mit der Messungin der folgenden Aufgabe überein." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "#### Qualitative Diskussion des Kurvenverlaufs\n", "Die Spannung liegt in einem bereich von 0.02V und 1.9V. Aufgetragen über der Frequenz hat die Spannung ein einziges markantes Maximum bei ungefähr 220 Hz. Die Phasenverschiebung hat einen charakteristisch S-Förmigen verlauf von -0.2 rad bis +0.3 rad. Die Krümmung der Phasenverschiebung wechselt ihre Richtung genau im Resonanzpunkt. Die abschätznug der Unsicherheit für die Phase scheint an den enden etwas zu groß gewählt geworden zu sein, denn der Unsicherheitsschlauch ist um ein vielfaches größer als die Streuung der Messdaten. Es war auf dem Oszilloskop aber einfach nicht besonders gut erkennbar." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 4.4: Wechselstromwiderstände von Spule und Kondensator\n", "\n", "Bestimmen Sie die Wechselstromwiderstände von Spule und Kondensator einzeln bei der Frequenz $\\omega_{0}$, wie in **Aufgabe 4.3** bestimmt, jeweils durch Messung von Strom und Spannung. Berechnen Sie daraus $L$ und $C$. Warum müssen Sie nicht eine Messung nach Art von **Aufgabe 4.2** durchführen, um auch den Verlustwiderstand der Spule bei dieser Frequenz zu ermitteln?\n", "\n", "---\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 14, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Die Induktivität der Spule beträgt $L = 1.0441\\,\\mathrm{H}$ mit einer Unsicherheit von $0.0022\\,\\mathrm{H}$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die Kapazität des Kondensators beträgt $C = 0.6322\\,\\mu\\mathrm{ F}$ mit einer Unsicherheit von $0.0025\\,\\mu\\mathrm{ F}$.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die Messung der Spule liegt innerhalb der 10% Fertigungsabweichung der Spule.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die Kapazität passt mit der Messung der vorherigen Aufgabe zusammen. Allerings passt sie nicht zum angegebenen Wert. Es wäre komisch wenn die Induktivität einen guten Wert erreicht und die Kapazität nicht, denn beide werden aus den gleichen Daten errechnet; Fehler sollten also korreliert sein.
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "#Leerlaufspannung U = 8.905, 0.001 Unsicher\n", "U_L = 8.05\n", "ΔU_L = 0.002\n", "uU_L = ufloat(U_L, ΔU_L)\n", "\n", "I_L = 5.570*10**(-3)\n", "ΔI_L = 0.01*10**(-3)\n", "uI_L = ufloat(I_L, ΔI_L)\n", "\n", "uX_L = uU_L/uI_L\n", "uL = uX_L/uω_0\n", "\n", "uU_C = ufloat(7.82, 0.02) #0.02 Unsicher\n", "uI_C = ufloat(6.843 *10**-3, 0.02*10**-3)#0.02 unsicher\n", "\n", "uX_C = uU_C/uI_C\n", "uC = 1/(uω_0*uX_C)\n", "\n", "%m Die Induktivität der Spule beträgt $L = [!uL.n:.4f!]\\,\\mathrm{H}$ mit einer Unsicherheit von $[!uL.s:.4f!]\\,\\mathrm{H}$.\n", "\n", "%m Die Kapazität des Kondensators beträgt $C = [!uC.n*10**6:.4f!]\\,\\mu\\mathrm{ F}$ mit einer Unsicherheit von $[!uC.s*10**6:.4f!]\\,\\mu\\mathrm{ F}$.\n", "\n", "%m Die Messung der Spule liegt innerhalb der 10% Fertigungsabweichung der Spule.\n", "%m Die Kapazität passt mit der Messung der vorherigen Aufgabe zusammen. Allerings passt sie nicht zum angegebenen Wert. Es wäre komisch wenn die Induktivität einen guten Wert erreicht und die Kapazität nicht, denn beide werden aus den gleichen Daten errechnet; Fehler sollten also korreliert sein. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Aufgabe 4.5: Innenwiderstand des Sinuswellengenerators\n", "\n", "Bestimmen Sie den reell angenommenen Innenwiderstand des Sinuswellengenerators. Belasten Sie dazu den Ausgang mit einem passenden Widerstand so, dass die Ausgangsspannung gerade auf den halben Wert der Leerlaufspannung sinkt. Wie groß ist die maximale Ausgangsleistung des Sinuswellengenerators?\n", "\n", "---" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 15, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/markdown": [ "
Der Innenwiderstand beträgt $593.0000\\,\\Omega$ mit einer Standardabweichung von $2.000000\\,\\Omega$
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/markdown": [ "
Die maximale Ausgangsleistung beträgt $0.0334\\,\\mathrm{W}$ mit einer Standardabweichung von $0.000113\\,\\mathrm{W}$
" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "R_i = R_p = 593\n", "ΔR_i = 2\n", "\n", "U_gen = 8.905 \n", "ΔU_gen = 0.001\n", "\n", "P = U_gen**2/(4*R_i)\n", "ΔP = np.sqrt( \\\n", " (2*U_gen/(4*R_i) * ΔU_gen)**2 \\\n", " + (U_gen**2/(4*R_i**2) * ΔR_i)**2 \\\n", ")\n", "\n", "%m Der Innenwiderstand beträgt $[!R_i:.4f!]\\,\\Omega$ mit einer Standardabweichung von $[!ΔR_i:2f!]\\,\\Omega$\n", "\n", "%m Die maximale Ausgangsleistung beträgt $[!P:.4f!]\\,\\mathrm{W}$ mit einer Standardabweichung von $[!ΔP:5f!]\\,\\mathrm{W}$" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.10.12" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 4 }