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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 02}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 26.10.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 29.10.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 4 (10P): Integration}\\[2mm]
Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass 
\begin{equation*}
  \int\!\!\sqrt{ax^2+2bx+c}\,\,{\rm d}x = \frac{ac-b^2}{2a^{3/2}}\,{\rm arsinh}\frac{ax+b}{\sqrt{ac-b^2}}+\frac{ax+b}{2a}\sqrt{ax^2+2bx+c}\,,
\end{equation*}
falls $a>0$ und $ac-b^2>0$\,. M{\"o}glicher L{\"o}sungsweg:
\begin{letters}
\item Finden Sie eine Substitution der Form $y=x-x_0$, so dass
  \begin{align*}
    ax^2+2bx+c = a(y^2+y_0^2)\,.
  \end{align*}
  Hierbei sind die Konstanten $x_0$ und $y_0$ zu bestimmen.
\item Das resultierende Integral l{\"a}{\ss}t sich mit Hilfe der Substitution $y=y_0\sinh\varphi$ auf das Integral, das in Aufgabe~1(c) von Blatt~1 berechnet wurde, zur{\"u}ckf{\"u}hren.
\item Durch Einsetzen von $\cosh x=\sqrt{1+\sinh^2 x}$ erh{\"a}lt man die gew{\"u}nschte L{\"o}sung.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 5 (10P): Teilchen im Magnetfeld}\\[2mm]
Ein elektrisch geladenes Teilchen bewegt sich in einem r{\"a}umlich und zeitlich konstanten Magnetfeld. Unter dem Einflu{\ss} der Lorentz-Kraft beschreibt das Teilchen eine Bahnkurve $\vec{r}(t)$, welche durch folgende Parameterdarstellung gegeben ist:
\begin{align*}
  \vec{r}(t) = \left(x(t)\,,y(t)\,,z(t)\right)^{\rm T} = \left(R\cos(\omega t)\,,R\sin(\omega t)\,,h\,\frac{\omega t}{2\pi}\right)^{\rm\!\!T}\,.
\end{align*}

\begin{letters}
\item Skizzieren Sie die Bahnkurve.
\item Geben Sie die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren an, d.h.~bestimmen Sie
  \begin{align*}
    \vec{v}(t) = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\,\vec{r}(t)\qquad\mbox{und}\qquad\vec{a}(t) = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\,\vec{r}(t)\,.
  \end{align*}
  Beachten Sie dabei, dass die Zeitableitungen des Ortsvektors $\vec{r}(t)$ komponentenweise zu nehmen sind:
  \begin{align*}
    \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^n}\,\vec{r}(t) = \left(\frac{{\rm d}^nx(t)}{{\rm d}t^n}\,,\frac{{\rm d}^ny(t)}{{\rm d}t^n}\,,\frac{{\rm d}^nz(t)}{{\rm d}t^n}\right)^{\rm\!\!T}\,.
  \end{align*}
\item Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

\begin{letters}
\item[(d)] Berechnen Sie die zwischen $t_0=0$ und einem beliebigem $t$ zur{\"u}ckgelegte Wegstrecke $l(t)$:
  \begin{align*}
    l(t) = \int_{t_0}^{t}\!dt^\prime\,\left|\frac{d\vec{r}(t^\prime)}{dt^\prime}\right| = \int_{t_0}^{t}\!dt^\prime\,\sqrt{\left(\frac{d\vec{r}(t^\prime)}{dt^\prime}\right)^2}\,.
  \end{align*}   
\item[(e)] Betrachten Sie nun den speziellen Fall der Bewegung auf einer Kreisbahn, d.h.~$h=0$. Wieviel Zeit braucht das Teilchen f{\"u}r einen kompletten Umlauf?
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 6: Bahnkurven}\\[2mm]
Ein Massenpunkt bewegt sich auf folgenden Bahnkurven:
\begin{align*}
  \;\mbox{(i)}\quad & x(t)=vt\cos\theta\,, &&\hspace{-25mm} y(t)=0\,, &&\hspace{-25mm} z(t)= vt\sin\theta-\frac{g}{2}\,t^2\,,\\[1mm]
  \;\mbox{(ii)}\quad & x(t)=vt \,, &&\hspace{-25mm} y(t)=y_0\ln\left(\frac{vt}{y_0}+1\right)\,, &&\hspace{-25mm} z(t)=0\,,\\[2mm]
  \;\mbox{(iii)}\quad & x(t)=vt\sin\omega t\,, &&\hspace{-25mm} y(t)=vt\cos\omega t\,, &&\hspace{-25mm} z(t)=0\,.
\end{align*}
Die Parameter $v$, $\theta$, $g$, $y_0$ und $\omega$ k{\"o}nnen als konstant (d.h.~zeitunabh{\"a}ngig) betrachtet werden.
\begin{letters}
\item Skizzieren Sie die Bahnkurven.
\item Berechnen Sie die zwischen $t_0=0$ und einem beliebigem $t$ zur{\"u}ckgelegten Wegstrecken $l(t)$.
\end{letters}

\end{document}