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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 03}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 02.11.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 05.11.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 7 (8P): Skalar- und Vektorprodukt}\\[2mm]
Gegeben seien drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
\begin{letters}
\item Zeigen Sie, unter Verwendung von $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$, dass die Projektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$ durch $\vec{a}\cdot(\vec{b}/|\vec{b}|)$ gegeben ist.
\item Beweisen Sie, dass $|\vec{a}\times\vec{b}|$ die Fl{\"a}che des durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms angibt.
\item Zeigen Sie, dass der Absolutbetrag von $\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$ gleich dem Volumen des durch die drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ aufgespannten Parallelepipeds ist.
\item Beweisen Sie,
  \begin{align*}
    \mbox{(i)}& \quad\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = \vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\,,\\[1mm]
    \mbox{(ii)}& \quad\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b})\,,\\[1mm]
    \mbox{(iii)}& \quad(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})-(\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})\,.
  \end{align*}
\item Wie gro{\ss} ist das Volumen eines Parallelepipeds, dessen Kanten durch $\vec{a}=(2,3,-1)$, $\vec{b}=(1,-2,2)$ und $\vec{c}=(3,-1,-2)$ gegeben sind?
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 8 (12P): Bahnkurven}\\[2mm]
Ein Massenpunkt bewegt sich auf der Bahnkurve
\begin{align*}
  \vec{r}(t) = (x(t),y(t)) = Re^{a\omega t}(\cos{\omega t}\,,\sin{\omega t})^{\rm T}
\end{align*}
mit konstanten Parametern $R\,,a$ und $\omega$.
\begin{letters}
\item Skizzieren Sie die Bahnkurve.
\item Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)$ und deren Betrag.
\item Bestimmen Sie die Beschleunigung $\vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t)$ und deren Betrag. Gilt $|\vec{a}(t)|={\rm d}|\vec{v}(t)|/{\rm d}t$?
\item Berechnen Sie die Bogenl{\"a}nge $s(t)$ als Funktion der Zeit $t$ f{\"u}r $t_0=0$.
\item Parametrisieren Sie die Bahnkurve $\vec{r}(t)$ nach der Bogenl{\"a}nge um, d.h.~bestimmen Sie $\vec{r}(s)$.
\item Berechnen Sie den Tangentenvektor $\vec{\tau}(s)={\rm d}\vec{r}(s)/{\rm d}s$ und {\"u}berzeugen Sie sich durch explizite Rechnung, dass $\vec{\tau}\,{}^2=1$ gilt.
\item Bestimmen Sie die Kr{\"u}mmung $\kappa(s)$ und den Kr{\"u}mmungsradius $\rho(s)$ der Bahnkurve.
\item Berechnen Sie die Tangential- und Zentripetalbeschleunigung, sowie deren Betr{\"a}ge.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

{\bf Aufgabe 9: Konstante und exponentielle Beschleunigung}

\begin{letters}
\item Ein Klotz bewege sich reibungsfrei auf einer schiefen Ebene die gegen{\"u}ber der Horizontalen um den Winkel $\theta$ geneigt ist. Aufgrund der Schwerkraft ist die Beschleunigung des Massenpunktes entlang der schiefen Ebene gegeben durch
  \begin{align*}
    \ddot{s}(t)=g\sin\theta\quad (g>0)\,.
  \end{align*}
  Bestimmen Sie daraus die Wegstrecke $s(t)$, die der Klotz nach der Zeit $t$ auf der schiefen Ebene zur{\"u}ckgelegt hat. Die Anfangsbedingungen zur Zeit $t=0$ seien gegeben durch $\dot{s}(0)=s(0)=0$.
\item Ein Massenpunkt bewege sich entlang der positiven $x$-Achse mit der Beschleunigung
  \begin{align*}
    \ddot{x}(t)=ae^{-bt}\quad (a,b>0)\,.
  \end{align*}
  Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und den Ort des Massenpunktes als Funktion der Zeit $t$ f{\"u}r die Anfangswerte $\dot{x}(0)=x(0)=0$. Was erhalten Sie f{\"u}r sehr kleine $t$?
\end{letters}

\vfill

\hrule

\vspace*{5mm}

{\bf Elektronische Anmeldung in QISPOS}\\
Sie k{\"o}nnen sich auf der Wepseite

\vspace*{1mm}

\begin{center}
  {\tt http://www.zvw.uni-karlsruhe.de/7552.php}
\end{center}

\vspace*{1mm}

({\"u}ber das Studierendenportal) zu den Vorleistungen anmelden.

\vspace*{4mm}

{\bf Einteilung der Tutorien }\\
Die aktualisierte Einteilung der Tutorien finden Sie auf der Webseite

\vspace*{1mm}

\begin{center}
  {\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}
\end{center}

 Bitte vermerken Sie stets Ihre Gruppennummer und Ihren Namen deutlich auf dem L{\"o}sungsblatt.

\end{document}