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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 04}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 09.11.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 12.11.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 10 (14P): Schiefer Wurf}\\[2mm]
Ein Massenpunkt wird unter dem Winkel $\theta$ zur Horizontalen hochgeworfen. Zum Zeitpunkt $t=0$ befinde er sich am Ort $\vec{r}(0)=(0,0,0)^{\rm T}$ und habe die Geschwindigkeit $\vec{v}(0)=v_0(\cos\theta,0,\sin\theta)^{\rm T}$. Infolge des Luftwiderstandes ist die Beschleunigung gegeben durch
\begin{equation*}
  \ddot{\vec{r}}(t) = -k\vec{v}(t)-g\vec{e}_z\,,\qquad\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)\,,\qquad k\,,g>0\hfill(\ast)
\end{equation*}
Dabei bezeichnet $\vec{e}_z$ den Einheitsvektor in $z$-Richtung, welcher senkrecht auf der Erdoberfl{\"a}che steht und nach oben zeigt. Durch Integration (analog zu Aufgabe 9 von Blatt 3) erh{\"a}lt man aus Gleichung $(\ast)$ die Geschwindigkeit $\vec{v}(t)$ und den Ortsvektor $\vec{r}(t)$. Die jeweiligen Integrationskonstanten sind durch die Vorgabe von $\vec{v}(0)$ und $\vec{r}(0)$ festgelegt.
\begin{letters}
\item Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Massenpunktes als Funktion der Zeit.\\
  {\it Hinweis:} F{\"u}hren Sie in Gleichung $(\ast)$ die Substitution $\vec{v}(t)=\vec{\phi}(t)e^{-kt}$ durch und bestimmen Sie zun{\"a}chst die Funktion $\vec{\phi}(t)$.
\item Bestimmen Sie die Bahnkurve $\vec{r}(t)$ des Massenpunktes und skizzieren Sie diese.
\item Zeigen Sie, dass der Massenpunkt im Limes $t\to\infty$ eine endliche Grenzgeschwindigkeit erreicht und berechnen Sie deren Betrag.
\end{letters}

Zeigen Sie, dass gilt:
\begin{letters}
\item[(d)] Der h{\"o}chste Bahnpunkt wird nach der Zeit  
  \begin{align*}
    T = \frac{1}{k}\,\ln\left(1+\frac{v_0k\sin\theta}{g}\right)
  \end{align*}
erreicht.
\item[(e)] Die H{\"o}he am Scheitelpunkt der Bahn ist
  \begin{align*}
    H = \frac{v_0\sin\theta}{k}-\frac{g}{k^2}\ln\left(1+\frac{v_0 k \sin\theta}{g}\right)\,.
  \end{align*}
\item[(f)] F{\"u}r kleinen Luftwiderstand $(k\to 0)$ sind die Geschwindigkeit $\vec{v}(t)$ und der Ortsvektor $\vec{r}(t)$ ann{\"a}hernd gegeben durch
  \begin{align*}
    \vec{v}(t) = \vec{v}_0-g\,t\,\vec{e}_z\,,\quad\vec{r}(t) = t\,\vec{v}_0-\frac{gt^2}{2}\vec{e}_z\,.
  \end{align*}
  {\it Hinweis:} F{\"u}r hinreichend kleines $k$ gilt $\displaystyle e^{-kt}\approx 1-kt+(k^2t^2)/2$\,.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

{\bf (*) Aufgabe 11 (6P): Leiter}\\[2mm]
Eine Leiter AB mit der L{\"a}nge $l$ ruht gegen eine senkrechte Wand OA (vgl.~Abbildung). Der Fu{\ss}punkt B der Leiter wird mit konstanter Geschwindigkeit $v_0$ in positive $x$-Richtung gesto{\ss}en.

\vspace*{-2mm}

\begin{multicols}{2}
  \begin{letters}
  \item Zeigen Sie, dass dabei der Mittelpunkt M der Leiter eine Kreisbahn vom Radius $l/2$ mit dem Ursprung in O durchl{\"a}uft.
  \item Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Leitermittelpunktes, solange der Abstand zwischen Wand und Fu{\ss}punkt B kleiner $l$ ist, d.h.~f{\"u}r $|\overrightarrow{\rm OB}|<l$.
  \item ({\it freiwillig}) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Leitermittelpunktes.
  \end{letters}
  \columnbreak
  \vspace*{-5mm}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=5.5cm]{leiter.eps}
  \end{center}
\end{multicols}

\begin{letters}
\item[(d)] ({\it freiwillig}) Berechnen Sie die Tangential- und  Zentripetalbeschleunigung des Leitermittelpunktes.
\end{letters}

\end{document}