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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 05}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 16.11.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 19.11.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 12 (8P): Reziproke Vektoren}\\[2mm]
Gegeben sind drei nicht in einer Ebene liegende Vektoren $\vec{a}_i$ ($i=1,\,2,\,3$). Mittels $\vec{a}_i\cdot\vec{b}_k=\delta_{ik}$ ($i,k=1,\,2,\,3$) werden sogenannte reziproke Vektoren $\vec{b}_k$ ($k=1,\,2,\,3$) definiert. Hierbei bezeichne $\delta_{ik}$ das Kronecker Symbol: $\delta_{ik}=1$ f{\"u}r $i=k$ und $\delta_{ik}=0$ f{\"u}r $i\not=k$.

\begin{letters}
\item Bestimmen Sie die reziproken Vektoren $\vec{b}_k$ in Abh{\"a}ngigkeit von den Vektoren $\vec{a}_i$.
\item Verifizieren Sie: $\vec{b}_1\cdot(\vec{b}_2\times\vec{b}_3)=\left[\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)\right]^{-1}$\,.
\item L{\"o}sen Sie die Gleichungen $\vec{a}_i\cdot\vec{r}=c_i$ ($i=1$, $2$, $3$), wobei $c_i$ Konstanten sind, mit Hilfe der reziproken Vektoren nach dem Ortsvektor $\vec{r}$ auf.
\item Gegeben seien drei orthonormale Basisvektoren $\vec{e}_i$ ($i=1,\,2,\,3$). Bestimmen Sie die hierzu reziproken Vektoren.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 13 (12P): Wassertropfen}\\[2mm]
Ein kugelf{\"o}rmiger Wassertropfen (Radius $R$, Masse $m$) falle im Schwerefeld der Erde senkrecht nach unten. Dabei gewinnt er w{\"a}hrend des Fallens durch Kondensation von Wasserdampf in der Atmosph{\"a}re an Masse mit einer zeitlichen Rate, die proportional zu seiner Oberfl{\"a}che ist. Die Dichte $\rho$ des Wassers bleibe dabei konstant.

\begin{letters}
\item Zeigen Sie, dass der Radius $R(t)$ des Wassertropfens f{\"u}r $R(0)=R_0$ gegeben ist durch
  \begin{equation*}
    R(t)=R_0+\frac{\alpha}{\rho}\,t\,,
  \end{equation*}
  wobei $\alpha>0$ eine Konstante ist.
\end{letters}

Zum Zeitpunkt $t=0$ befinde sich der Wassertropfen am Ort $\vec{r}(0)=(0,0,0)^{\rm T}$ und habe die Geschwindigkeit $\vec{v}(0)=(0,0,0)^{\rm T}$. Unter Vernachl{\"a}ssigung des Luftwiderstandes ist seine Beschleunigung gegeben durch
\begin{equation*}
  \ddot{\vec{r}}(t) = -\kappa(t)\vec{v}(t)-g\vec{e}_z\,,\qquad\kappa(t) = \frac{3\alpha}{\rho R(t)}\hfill(\ast)
\end{equation*}
Dabei bezeichnet $\vec{e}_z$ den Einheitsvektor in $z$-Richtung, welcher senkrecht auf der Erdoberfl{\"a}che steht und nach oben zeigt.

\begin{letters}
\item[(b)] Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Massenpunktes als Funktion der Zeit.\\
  {\it Hinweis:} F{\"u}hren Sie in Gleichung $(\ast)$ die Substitution
  \begin{equation*}
    \vec{v}(t)=\vec{\phi}(t)\,{\rm exp}\!\left(-\int_0^t\!\kappa(t^\prime)dt^\prime\right)
  \end{equation*}
  durch und bestimmen Sie zun{\"a}chst die Funktion $\vec{\phi}(t)$.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

\begin{letters}
\item[(c)] Zeigen Sie, dass die Fallgeschwindigkeit des Tropfens im Grenzfall $R_0\ll(\alpha/\rho)\,t$ linear mit der Zeit anw{\"a}chst. Wie gro{\ss} ist die Fallbeschleunigung in diesem Grenzfall?
\item[(d)] Bestimmen Sie die Bahnkurve $\vec{r}(t)$.
\item[(e)] Zeigen Sie, ohne Verwendung des Ergebnisses aus Teilaufgabe (c), dass die $z$-Komponente des Ortsvektors $\vec{r}(t)$ im Grenzfall $R_0\ll(\alpha/\rho)\,t$ quadratisch mit der Zeit anw{\"a}chst.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 14: Abrutschendes Seil}\\[2mm]
Ein Seil der L{\"a}nge $l$ rutscht {\"u}ber eine Kante ab (vgl.~Abbildung). Wenn man die Reibung des aufliegenden Seilst{\"u}cks vernachl{\"a}ssigt, wirkt auf das {\"u}berh{\"a}ngende St{\"u}ck der L{\"a}nge $x$ die Beschleunigung
\begin{equation*}
  \ddot{x}(t)=\frac{g}{l}\,x(t)\,.\hfill(\ast\ast)
\end{equation*}
Das Seil werde zum Zeitpunkt $t=0$ aus der Ruhelage losgelassen, wobei ein St{\"u}ck der L{\"a}nge $x_0$ herabh{\"a}ngt, das hei{\ss}t $x(0)=x_0$, $\dot{x}(0)=0$.

\begin{multicols}{2}
  \begin{letters}
  \item Zeigen Sie, dass $(\ast\ast)$ durch
    \begin{equation*}
      x(t)=A\cosh(kt)+B\sinh(kt)
    \end{equation*}
    gel{\"o}st wird, und bestimmen Sie $A$, $B$ und $k$.
  \item Wie gro{\ss} ist die Geschwindigkeit, wenn das Seilende gerade {\"u}ber die Kante rutscht?
  \end{letters}
  \columnbreak
  \vspace*{-8mm}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=4cm]{seil.eps}
  \end{center}
\end{multicols}

\end{document}