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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 06}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 23.11.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 26.11.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 15 (2P): Matrizenmultiplikation}\\[2mm]
Berechnen Sie die Produkte $AB$ und $BA$ f{\"u}r die Matrizen
\begin{align*}
  {\rm (i)}\quad A=\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\quad{\rm und}\quad{\rm(ii)}\quad A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\2&0&1\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}0&2&0\\2&0&2\\0&2&2\end{pmatrix}.
\end{align*}
Ist die Multiplikation dieser Matrizen kommutativ? Das hei{\ss}t, gilt $AB-BA=0$?

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 16 (7P): Eigenwerte und Eigenvektoren}
\begin{letters}
\item Berechnen Sie $B=A-\lambda\mathbbm{1}$, wobei $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$ und $\mathbbm{1}$ die Einheitsmatrix ist.
\item Bestimmen Sie die Determinante der Matrix $B$.
\item Bestimmen Sie die drei L{\"o}sungen f{\"u}r $\lambda$ der Gleichung $\mbox{det}B=0$.
\item L{\"o}sen Sie f{\"u}r jedes $\lambda$ die Gleichung $B\vec{x}=0$ nach $\vec{x}$ auf, wobei $\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 17 (11P): Dreidimensionale Drehungen}\\[2mm]
Eine allgemeine Drehung eines kartesischen Koordinatensystems im dreidimensionalen Raum l{\"a}{\ss}t sich durch das Produkt dreier aufeinanderfolgender Drehungen beschreiben. Diese sind definiert durch die Vorschrift, dass zuerst um den Winkel $\phi$ um die $z$-Achse gedreht wird, dann um den Winkel $\theta$ um die {\it neue} $x$-Achse und schlie{\ss}lich um den Winkel $\psi$ um die {\it neue} $z$-Achse. Die assoziierte Drehmatrix ist $O(\phi,\theta,\psi)=O_z(\psi)O_x(\theta)O_z(\phi)$, wobei
\begin{align*}
  O_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\alpha&\sin\alpha\\0&-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\quad\mbox{und}\quad O_z(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha&0\\-\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix}
\end{align*}
die Drehmatrizen um die $x$- bzw. $z$-Achse sind.
\begin{letters}
\item Berechnen Sie die Matrix $O(\phi,\theta,\psi)$.
\item Berechnen Sie die Determinante der Matrix $O(\phi,\theta,\psi)$.
\item Zeigen Sie, dass $O^T(\phi,\theta,\psi)=O^{-1}(\phi,\theta,\psi) $.\\[1mm]
  {\it Hinweis:} F{\"u}r $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ und $B\in\mathbb{R}^{n\times p}$ gilt $(A\cdot B)^{\rm T}=B^{\rm T}\cdot A^{\rm T}$\,.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

\begin{letters}
\item[(d)] Zeigen Sie, dass die Zeilen- und Spaltenvektoren von $O(\phi,\theta,\psi)$ die L{\"a}nge $1$ haben und paarweise orthogonal aufeinander stehen.
\item[(e)] Zeigen Sie, dass Drehungen um verschiedene Achsen im allgemeinen nicht vertauschen. Berechnen Sie dazu $O_x(\theta)O_z(\phi)$, $O_z(\phi) O_x(\theta)$ und $O_x(\theta)O_z(\phi)-O_z(\phi) O_x(\theta)$.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 18: Skalarprodukt und Drehungen}
\begin{letters}
\item Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt $\vec{a}\cdot\vec{b}$ zwischen zwei beliebigen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ erhalten bleibt, wenn man beide Vektoren um den Winkel $\theta$ dreht.
\item Zeigen Sie, dass der Winkel $\alpha$ zwischen zwei beliebigen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ erhalten bleibt, wenn man beide Vektoren um den Winkel $\theta$ dreht.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 19: Drehung im $\mathbb{R}^3$}\\[2mm]
Gegeben sei die Matrix
\begin{align*}
  O=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&\sqrt{2}&0\\-1&1&\sqrt{2}\\1&-1&\sqrt{2}\end{pmatrix}.
\end{align*}

\vspace*{-4mm}

\begin{letters}
\item Zeigen Sie, dass $O$ eine Drehmatrix ist.
\item Bestimmen Sie die Drehachse.\\
  {\it Hinweis:} Die Drehachse $\vec{a}$ bleibt bei der Drehung unge{\"a}ndert: $O\vec{a}=\vec{a}$. Aus dieser Bedingung k{\"o}nnen Sie $\vec{a}$ bestimmen.
\item Bestimmen Sie den Drehwinkel.\\
  {\it Hinweis:} Betrachten Sie dazu einen Vektor, der senkrecht auf $\vec{a}$ steht. F{\"u}r den Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{b}^{\prime}$ gilt: $\vec{b}\cdot\vec{b}^{\prime}=|\vec{b}||\vec{b}^{\prime}|\cos\theta$.
\end{letters}

\end{document}