\documentclass[11pt,twoside,fleqn]{article}

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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 07}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 30.11.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 03.12.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 20 (11P): Kugelkoordinaten}\\[2mm]
Die kartesischen Koordinaten eines Ortsvektors $\vec{r}$ lassen sich durch Kugelkoordinaten aus\-dr{\"u}\-cken, welche f{\"u}r $r\in(0,\infty)$, $\theta\in(0,\pi)$ und $\phi\in(0,2\pi)$ wie folgt definiert sind:
\begin{align*}
  K\,:\,\begin{pmatrix}r\\\theta\\\phi\end{pmatrix}\mapsto\vec{r}(r,\theta,\phi) = \begin{pmatrix}x(r,\theta,\phi)\\y(r,\theta,\phi)\\z(r,\theta,\phi)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\sin\theta\cos\phi\\r\sin\theta\sin\phi\\r\cos\theta\end{pmatrix}.
\end{align*}

\vspace*{-4mm}

\begin{letters}
\item Berechnen Sie die Einheitsvektoren
  \begin{align*}
    \vec{e}_r = \frac{\frac{\partial\vec{r}(r,\theta,\phi)}{\partial r}}{\left|\frac{\partial\vec{r}(r,\theta,\phi)}{\partial r}\right|}\,,\quad\vec{e}_\theta = \frac{\frac{\partial\vec{r}(r,\theta,\phi)}{\partial\theta}}{\left|\frac{\partial\vec{r}(r,\theta,\phi)}{\partial\theta}\right|}\,,\quad\vec{e}_\phi = \frac{\frac{\partial\vec{r}(r,\theta,\phi)}{\partial\phi}}{\left|\frac{\partial \vec{r}(r,\theta,\phi)}{\partial\phi}\right|}
  \end{align*}
  und bestimmen Sie ihre Skalar- und Kreuzprodukte.\\[1mm]
  {\it Hinweis:} Das Symbol "`$\partial$"' bezeichnet eine partielle Ableitung. Die Regeln sind analog zur "`gew{\"o}hnlichen"' Ableitung, wobei die restlichen Variablen als konstant angenommen werden.
\item Berechnen Sie die ersten zeitlichen Ableitungen der in Teilaufgabe (a) definierten Einheitsvektoren. Dr{\"u}cken Sie das Ergebnis durch die Vektoren $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\theta$, $\vec{e}_\phi$ aus.
\item $\vec{r}(t)$ beschreibe die Bahn eines Massenpunktes in Abh{\"a}ngigkeit von der Zeit $t$. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Massenpunktes in Kugelkoordinaten. Dr{\"u}cken Sie das Ergebnis durch die Vektoren $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\theta$ und $\vec{e}_\phi$ aus.
\item Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 21: Zylinderkoordinaten }
\begin{letters}
\item Die kartesischen Koordinaten eines Ortsvektors $\vec{r}$ lassen sich durch Zylinderkoordinaten ausdr{\"u}cken, welche f{\"u}r $\rho\in(0,\infty)$, $\phi\in(0,2\pi)$ und $z\in(-\infty,\infty)$ wie folgt definiert sind: 
  \begin{align*}
    Z\,:\,\begin{pmatrix}\rho\\\phi\\z\end{pmatrix}\mapsto\vec{r}(\rho,\phi,z) = \begin{pmatrix}x(\rho,\phi,z)\\y(\rho,\phi,z)\\z(\rho,\phi,z)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\rho\cos\phi\\\rho\sin\phi\\z\end{pmatrix}.
  \end{align*}
  Berechnen Sie die Einheitsvektoren 
  \begin{align*}
    \displaystyle\vec{e}_\rho = \frac{\frac{\partial\vec{r}(\rho,\phi,z)}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial\vec{r}(\rho,\phi,z)}{\partial \rho}\right|}\,,\quad\vec{e}_\phi = \frac{\frac{\partial\vec{r}(\rho,\phi,z)}{\partial\phi}}{\left|\frac{\partial\vec{r}(\rho,\phi,z)}{\partial\phi}\right|}\,,\quad\vec{e}_z=\frac{\frac{\partial\vec{r}(\rho,\phi,z)}{\partial z}}{\left|\frac{\partial\vec{r}(\rho,\phi,z)}{\partial z}\right|}
  \end{align*}
  und bestimmen Sie ihre Skalar- und Kreuzprodukte.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

\begin{letters}
\item[(b)] Berechnen Sie die ersten zeitlichen Ableitungen der in Teilaufgabe (a) definierten Einheitsvektoren. Dr{\"u}cken Sie das Ergebnis durch die Vektoren $\vec{e}_\rho$, $\vec{e}_\phi$, $\vec{e}_z$ aus.\\[1mm]
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 22 (9P): Massenpunkt auf Kegel}\\[2mm]
Ein Massenpunkt bewegt sich auf der inneren Seite eines auf der Spitze stehenden Kegels. Die Parameterdarstellung seiner Bahnkurve lautet f{\"u}r $0\le t\le t_0$ in kartesischen Koordinaten:
\begin{align*}
  \vec{r}(t) = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\rho_0\left(1-\frac{t}{t_0}\right)\cos\omega t\\\rho_0\left(1-\frac{t}{t_0}\right)\sin\omega t\\h_0\left(1-\frac{t}{t_0}\right)\end{pmatrix},
\end{align*}
wobei $\rho_0$, $h_0$, $t_0$ und $\omega$ konstante positive Parameter sind.

\begin{letters}
\item Geben Sie eine Parameterdarstellung der Bahnkurve in Zylinderkoordinaten an.\\[1mm]
  {\it Hinweis}: Zylinderkoordinaten wurden in Aufgabe 21 definiert. Die ortsabh{\"a}ngigen Einheitsvektoren dieser Koordinaten sind gegeben durch
  \begin{align*}
    \vec{e}_\rho = \begin{pmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\\0\end{pmatrix},\quad\vec{e}_\phi = \begin{pmatrix}-\sin\phi\\\cos\phi\\0\end{pmatrix},\quad\vec{e}_z = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.
  \end{align*}
\item Skizzieren Sie die Bahnkurve.
\item Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Massenpunktes in Zylinderkoordinaten.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 23: Fl{\"a}cheninhalt und Volumen}
\begin{letters}
\item Berechnen Sie die Fl{\"a}che eines Kreises mit Radius $R$ unter Verwendung von (i) kartesischen Koordinaten und (ii) Polarkoordinaten.
\item Berechnen Sie die Oberfl{\"a}che und das Volumen einer Kugel mit Radius $R$ unter Verwendung von Kugelkoordinaten.
\item Berechnen Sie die Mantelfl{\"a}che und das Volumen eines geraden Kegels mit H{\"o}he $H$ und {\"O}ffnungswinkel $\alpha$ unter Verwendung von (i) Kugel- und (ii) Zylinderkoordinaten.
\end{letters}

\vfill

\hrule

\vspace*{5mm}

{\bf {\"U}bungsklausur}\\[1mm]
Die {\"U}bungsklausur findet am Freitag, dem 17.12.2010, im Rahmen der {\"U}bungen statt, und wird mit 60 Punkten bewertet. Bitte beachten Sie, dass Sie an der {\"U}bungsklausur nur in dem Ihnen zugeteilten Tutorium teilnehmen k{\"o}nnen. Bringen Sie bitte zur Kontrolle Ihren Studentenausweis mit. Es werden keine Hilfsmittel zugelassen.

\end{document}