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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 08}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 07.12.2010\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 10.12.2010

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 24 (10P): Galilei-Transformationen}\\[2mm]
Eine eigentliche orthochrone Galilei-Transformation kann durch die Abbildung
\begin{align*}
g\,:\,\begin{pmatrix}\vec{r}\\t\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{r}^\prime\\t^\prime\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}O^{-1}\vec{r}-\vec{w}t-\vec{b}\,\\t+s\end{pmatrix},
\end{align*}
beschrieben werden, wobei $O$ eine orthogonale Matrix mit ${\rm det}\,O=1$ ist. Der Vektor $\vec{w}$ bezeichnet eine konstante Geschwindigkeit und $\vec{b}$ und $s$ konstante Verschiebungen in Raum bzw.~Zeit. Die Menge aller eigentlichen orthochronen Galilei-Transformationen l{\"a}{\ss}t sich durch die Elemente $g=g(O,\vec{w},\vec{b},s)$ beschreiben. In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass diese Menge eine Gruppe (im mathematischen Sinne) bildet. Sie wird mit $G_{+}^{\uparrow}$ bezeichnet.
\begin{letters}
\item Zeigen Sie, dass das nacheinander Ausf{\"u}hren von zwei beliebigen Galilei-Transformationen wieder eine Galilei-Transformation ergibt und bestimmen Sie die Parameter dieser Transformation in Abh{\"a}ngigkeit der Parameter der urspr{\"u}nglichen Transformationen. Spielt die Reihenfolge der Ausf\"uhrung eine Rolle?
\end{letters}
Man schreibt die Hintereinanderausf{\"u}hrung zweier Galilei-Transformationen kompakt als
\begin{equation*}
  g^\prime(O^\prime,\vec{w}^\prime,\vec{b}^\prime,s^\prime)=g_2(O_2,\vec{w}_2,\vec{b}_2,s_2)\circ g_1(O_1,\vec{w}_1,\vec{b}_1,s_1)\,.\hfill (\ast)
\end{equation*}
Nach Teilaufgabe (a) gilt $g^\prime\in G_{+}^{\uparrow}$. Zeigen Sie jetzt, dass $G_{+}^{\uparrow}$ die Gruppenaxiome erf{\"u}llt:
\begin{letters}
\item[(b)] Die Verkn{\"u}pfungsoperation $(\ast)$ ist assoziativ, d.h.~$g_3\circ (g_2\circ g_1)=(g_3\circ g_2)\circ g_1$.
\item[(c)] Es existiert ein neutrales Element $E$, so dass f{\"u}r jede Transformation $g\in G_{+}^{\uparrow}$ gilt: $g\circ E= E\circ g = g$.
\item[(d)] Zu jedem Gruppenelement $g\in G_{+}^{\uparrow}$ gibt es eine inverse Transformation $g^{-1}$, so dass $g\circ g^{-1} = g^{-1}\circ g = E$.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 25 (10P): Bezugssysteme}\\[2mm]
Ein Massenpunkt bewegt sich im Inertialsystem $I$, das durch die Einheitsvektoren $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$, $\vec{e}_3$ aufgespannt wird, auf folgender Bahnkurve:
\begin{equation*}
  \vec{r}(t)= R\cos(\omega t)\vec{e}_1+R\sin(\omega t)\vec{e}_2\,.
\end{equation*}
Geben Sie die Bahnkurve in den Bezugssystemen $B_a,\,\dots\,,B_f$ an, wobei
\begin{letters}
\item $B_a$ aus $I$ durch eine Verschiebung des Ursprungs um den Vektor $\vec{d}=R_0\vec{e}_2\,\,(R_0={\rm konst})$ hervorgeht.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

\begin{letters}
\item[(b)] $B_b$ sich relativ zu $I$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_0=R_0\,\omega\vec{e}_1\,\,(R_0={\rm konst}\,,\omega={\rm konst})$ bewegt. (Die Koordinatenurspr{\"u}nge beider Systeme fallen zur Zeit $t=0$ zusammen). Skizzieren Sie die Bahnkurve f{\"u}r (i) $R_0<R$, (ii) $R_0=R$ und (iii) $R_0>R$.
\item[(c)] $B_c$ aus einer Drehung von $I$ um den Winkel $\theta$ gegen den Uhrzeigersinn um die $x_3$-Achse von $I$ hervorgeht.
\item[(d)] $B_d$ gleichf{\"o}rmig gegen den Uhrzeigersinn mit Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um die $x_3$-Achse von $I$ rotiert (d.h.~der Drehwinkel ist $\phi(t)=\omega t$).
\item[(e)] $B_e$ sich relativ zu $I$ mit der Beschleunigung $\vec{a}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2\,\,(a_1,a_2={\rm konst})$ bewegt. (F{\"u}r $t=0$ sollen die Koordinatenurspr{\"u}nge beider Systeme zusammenfallen und die Relativgeschwindigkeit beider Systeme verschwinden.)
\item[(f)] Finden Sie eine Transformation in ein Bezugssystem $B_f$, so dass der Massenpunkt in $B_f$ eine gleichf{\"o}rmige geradlinige Bewegung beschreibt.
\item[(g)] Welches der Bezugssysteme $B_a,\,\dots\,,B_f$ ist ein Inertialsystem?
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 26 : Bewegung auf einem Karussell}\\[2mm]
Eine Scheibe mit Radius $R$ rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\Omega$. An deren Rand ist eine zweite Scheibe mit Radius $r<R$ befestigt. Diese rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $\omega>\Omega$ (siehe Skizze).

\vspace*{-2mm}

\begin{multicols}{2}
  \begin{letters}
  \item Wie lautet, von einem Inertialsystem aus gesehen, die Bahnkurve $\vec{r}(t)$ eines Punktes, der sich am Rand der kleinen Scheibe befindet? Verwenden Sie hierbei kartesische Koordinaten. Zur Zeit $t=0$ befinde sich der Punkt bei $\vec{r}(0)=(R+r,0)^{\rm T}$.
  \item Skizzieren Sie die im Inertialsystem beobachtete Bahnkurve.
  \item Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Punktes.
  \end{letters}
  \columnbreak
  \vspace*{-5mm}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=5.5cm]{karussell.eps}
  \end{center}
\end{multicols}

\vfill

\hrule

\vspace*{5mm}

{\bf Elektronische Anmeldung in QISPOS}\\
Die Anmeldung zu den Vorleistungen ist noch bis zum 21.01.2011 freigeschaltet.

\end{document}