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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 10}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 11.01.2011\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 14.01.2011

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 30 (7P): Energieerhaltung}\\[2mm]
Ein Massenpunkt mit zeitlich konstanter Masse $m$ bewegt sich in einer Dimension unter dem Einflu{\ss} einer Kraft $F(x)$.
\begin{letters}
\item Leiten Sie ausgehend von der Gleichung
  \begin{equation*}
    F(x)=m\ddot{x}\hfill(\ast)
  \end{equation*}
  den Energieerhaltungssatz her. Dr{\"u}cken Sie dazu die Kraft $F(x)$ durch das zugeh{\"o}rige Potential
  \begin{equation*}
    V(x)=-\int_{x_R}^x\!F(x^\prime)dx^\prime\quad\mbox{($x_R$ ist ein beliebiger Referenzpunkt)}
    \end{equation*}
 aus, multiplizieren Sie die Gleichung $(\ast)$ mit $\dot{x}$ und integrieren Sie {\"u}ber $t$.
\item Die in (a) eingef{\"u}hrte Integrationskonstante kann als Gesamtenergie $E$ interpretiert werden. Zeigen Sie nun mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes, dass die Umkehrfunktion $t(x)$ der Bahnkurve durch
  \begin{equation*}
    t(x)-t_0 =\pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_0}^x\frac{d x^\prime}{\sqrt{E-V(x^\prime)}}\hfill(\ast\ast)
  \end{equation*}
  gegeben ist, wobei $x_0=x(t_0)$.
\item Betrachten Sie nun den Spezialfall $F(x)=-kx$ und die Anfangsbedingung $x(0)=x_0>0$, $\dot{x}(0)=0$. (i) Skizzieren Sie das zugeh{\"o}rige Potential $V(x)$ und bestimmen Sie die Umkehrpunkte der Bewegung. (ii) Berechnen Sie das Integral $(\ast\ast)$. (iii) Skizzieren Sie die resultierende Bahnkurve $x(t)$.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 31: Gradient, Divergenz und Rotation}
\begin{letters}
\item Gegeben seien eine skalare Funktion $\phi(\vec{r})$ und eine vektorielle Funktion $\vec{f}(\vec{r})$, die zweimal stetig partiell differenzierbar sind.
  Zeigen Sie, dass gilt
  \begin{align*}
    \mbox{(i)} & \quad\mbox{rot}\,\mbox{grad}\,\phi(\vec{r})=0\,,\\
    \mbox{(ii)} & \quad\mbox{div}\,\mbox{rot}\,\vec{f}(\vec{r})=0\,,\\
    \mbox{(iii)} & \quad\mbox{div}\,\mbox{grad}\,\phi(\vec{r})=\triangle\,\phi(\vec{r})\,,\\
    \mbox{(iv)} & \quad\mbox{rot}\,\mbox{rot}\,\vec{f}(\vec{r})=\mbox{grad}\,\mbox{div}\,\vec{f}(\vec{r})-\triangle\,\vec{f}(\vec{r})\,,\\
    \mbox{(v)} & \quad\mbox{div}\,(\phi(\vec{r})\,\vec{f}(\vec{r}))=\vec{f}(\vec{r})\cdot\mbox{grad}\,\phi(\vec{r})+\phi(\vec{r})\,\mbox{div}\,\vec{f}(\vec{r})\,,\\
    \mbox{(vi)} & \quad\mbox{rot}\,(\phi(\vec{r})\,\vec{f}(\vec{r}))=\mbox{grad}\,\phi(\vec{r})\times\vec{f}(\vec{r})+\phi(\vec{r})\,\mbox{rot}\,\vec{f}(\vec{r})\,,
  \end{align*}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

  wobei der Laplace-Operator "`$\triangle$"' gegeben ist durch
  \begin{align*}
    \triangle=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\,.
  \end{align*}
\item Betrachten Sie nun die Funktion $\vec{f}(\vec{r})=\psi(r)\frac{\vec{r}}{r}$ mit $r=|\vec{r}|$ ($\psi(r)$ sei eine differenzierbare skalare Funktion). Berechnen Sie
  \begin{align*}
    \mbox{(i)}\quad\mbox{div}\,\vec{f}(\vec{r})\quad\mbox{und}\quad\mbox{(ii)}\quad\mbox{rot}\,\vec{f}(\vec{r})\,.
  \end{align*}
\end{letters}

\vspace*{5mm}

\begin{minipage}{11.4cm}
  {\bf (*) Aufgabe 32 (13P): Wegintegrale}\\[2mm]
  Gegeben seien die drei Kr{\"a}fte
  \begin{align*}
    \vec{F}_a(\vec{r})=\begin{pmatrix}y\\2x\\0\end{pmatrix},\quad\vec{F}_b(\vec{r})=\frac{\vec{r}}{\vec{r}^{\,2}}\,,\quad\vec{F}_c(\vec{r})=\frac{1}{x^2+y^2}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}.
  \end{align*}
  Berechnen Sie f{\"u}r jede dieser drei Kr{\"a}fte die Wegintegrale $\int_C\vec{F}_i(\vec{r})\cdot d\vec{r}$, $i=a,b,c$, entlang der drei skizzierten Wege in der $xy$-Ebene von $(1,0,0)$ nach $(0,1,0)$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{4.5cm}
  \begin{flushright}
    \includegraphics[width=4cm]{wege.eps}
  \end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{10mm}

{\bf Aufgabe 33: Satz von Stokes}
\begin{letters}
\item Verifizieren Sie den Satz von Stokes,
  \begin{equation*}
    \int_S(\vec\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec\sigma=\int_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r},\hfill(\ast)
  \end{equation*}
  f{\"u}r die Funktion $\vec{F}=x^2y\,\vec{e}_x+2yz\,\vec{e}_y+3xz\,\vec{e}_z$. Die Integrationsfl{\"a}che $S$ sei die Einheitskreisscheibe in der $xy$-Ebene, $\partial S$ deren Rand, und $d\vec\sigma$ ein infinitesimales vektorielles Fl{\"a}chen\-element.
\item Betrachten Sie nun das Kraftfeld $\vec{F}=F_x\,\vec{e}_x+F_y\,\vec{e}_y+F_z\,\vec{e}_z$\,.
  \begin{equation*}
    F_x = -\frac{y}{x^2+y^2},\qquad F_y = \frac{x}{x^2+y^2}, \qquad F_z = 0\,,
  \end{equation*}
  Berechnen Sie wieder die beiden Integrale aus $(\ast)$, und interpretieren Sie das Ergebnis. Berechnen Sie auch $\int_{\partial S^\prime}\vec{F}\cdot d\vec{r}$, wobei $\partial S^\prime$ der Rand der Einheits\-kreisscheibe $S$ ist, deren Mittelpunkt um eine L{\"a}ngeneinheit in $x$-Richtung verschoben wurde.
\end{letters}

\vspace{10mm}

\begin{center}
  {\bf Wir w{\"u}nschen Ihnen erholsame Weihnachtsferien\\ und einen guten Rutsch ins neue Jahr!}
\end{center}

\end{document}