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\newcounter{abc}
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  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 11}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 18.01.2011\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 21.01.2011

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf (*) Aufgabe 34 (10P): Tennis- und Basketball}\\[2mm]
Ein Tennisball mit Masse $m_2$ und Radius $R_2$ liegt auf einem Basketball mit Masse $m_1$ und Radius $R_1$ (siehe Abbildung). Die Unterseite des Basketballs befindet sich zum Zeitpunkt $t=0$ im Abstand $h$ von der Erdoberfl{\"a}che, die Unterseite des Tennisballs hat den Abstand $h+2R_1$. Die B{\"a}lle werden zum Zeitpunkt $t=0$ losgelassen.\\[3mm]
\begin{minipage}{12cm}
  \begin{letters}
  \item Welche Geschwindigkeiten haben die beiden B{\"a}lle gleich nach dem Aufprall auf dem Boden (d.h.~wenn sie sich beide gerade wieder nach oben bewegen)? L{\"o}sen Sie das Problem unter der Annahme, dass alle St{\"o}{\ss}e perfekt elastisch sind, d.h.~keine Energie in W{\"a}rme umgesetzt wird.
  \item Welche H{\"o}he wird der Tennisball nach dem Aufprall auf dem Boden erreichen? L{\"o}sen Sie das Problem unter der Annahme, dass $m_1\gg m_2$ und $R_1\gg R_2$.
  \item Betrachten Sie nun ein System von $n$ B{\"a}llen $B_1$, $B_2$, \dots, $B_n$ mit den Massen $m_1\gg m_2\gg\dots\gg m_n$ und den Radien $R_1\gg R_2\gg\dots\gg R_n$. Die  B{\"a}lle liegen aufeinander, wobei $B_n$ auf $B_{n-1}$, $B_{n-1}$ auf $B_{n-2}$, \dots, $B_2$ auf $B_1$ liegt und die Unterseite von $B_1$ den Abstand $h$ von der  Erdoberfl{\"a}che hat. Berechnen Sie die H{\"o}he, die der $n$-te Ball erreichen wird, als Funktion von $n$, $h$ und $R_1$.
  \end{letters}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
  \begin{flushright}
    \includegraphics[width=2.5cm]{baelle.eps}
  \end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 35: Zeitliche {\"A}nderung eines rotierenden Vektors}\\[2mm]
Zeigen Sie, dass f{\"u}r die zeitliche {\"A}nderung eines Vektors $\vec{b}$ konstanter L{\"a}nge, der um eine raumfeste Achse mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotiert, folgende Gleichung gilt:
\begin{align*}
  \frac{d\vec{b}}{dt}=\vec{\omega}\times\vec{b}\,.
\end{align*}
Der hier auftretende Vektor $\vec{\omega}$ hat den Betrag $\omega$, ist parallel zur Rotationsachse, und seine Richtung wird bestimmt durch die Forderung, dass der Winkel zwischen $\vec{\omega}$ und $\vec{b}$ spitz ist.

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 36: Drehimpuls}\\[2mm]
Ein Massenpunkt $m$ bewegt sich  mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf der inneren Seite eines auf der Spitze stehenden Kegels mit dem {\"O}ffnungswinkel $\alpha$. Berechnen Sie den Drehimpuls bez{\"u}glich der Spitze des Kegels und seine erste zeitliche Ableitung unter der Annahme, dass die Bahnkurve des Massenpunktes in einer horizontalen Ebene verl{\"a}uft, die sich im Abstand $d$ von der Spitze des Kegels befindet. K{\"o}nnen Sie ohne explizite Berechnung des Drehimpulses argumentieren, welche von seinen Komponenten erhalten sind?

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

{\bf (*) Aufgabe 37 (10P): Bewegung relativ zur Erde}\\[2mm]
Ein Massenpunkt $m$ f{\"a}llt aus einer im Vergleich zum Erdradius kleinen H{\"o}he $h$ auf die Erdoberfl{\"a}che. Am Anfang befindet sich der Massenpunkt in Ruhe an einem Ort mit dem Winkelabstand $\theta$ vom Nordpol.\\[3mm]
\begin{minipage}{9cm}
  \begin{letters}
  \item Leiten Sie die Bewegungsgleichung (in vektorieller Form) des Massenpunktes relativ zu einem auf der Erdoberfl{\"a}che ruhenden Beobachter, der sich am Ort P befindet, ab (siehe Abbildung).
\item Zeigen Sie, dass f{\"u}r den Massenpunkt die Bewegungsgleichungen
  \begin{align*}
    \ddot{x} &= 2\omega\dot{y}\cos\theta\,,\\[1mm]
    \ddot{y} &= -2(\omega\dot{x}\cos\theta+\omega\dot{z}\sin\theta)\,,\\[1mm]
    \ddot{z} &= -g+2\omega\dot{y}\sin\theta\,,
  \end{align*}
gelten, solange er sich in der N{\"a}he der Erdoberfl{\"a}che bewegt. Dabei ist $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Erde um ihre Achse. Die Erdbeschleunigung $g$ kann hierbei in guter N{\"a}herung als konstant angenommen werden. Vernachl{\"a}ssigen Sie au{\ss}erdem alle Terme der Ordnung $\omega^2$.
  \end{letters}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
  \begin{flushright}
    \includegraphics[width=5.5cm]{erde.eps}
  \end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{-4mm}

\begin{letters}
\item[(c)] Zeigen Sie, dass der Massenpunkt von der Vertikalen um $\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\omega h^{3/2}}{\sqrt{g}}\,\sin\theta$ nach Osten abgelenkt wird.
\end{letters}

\vfill

\hrule

\vspace*{5mm}

{\bf Elektronische Anmeldung in QISPOS}\\
Bitte beachten Sie, dass die Anmeldung zu den Vorleistungen nur noch bis zum 21.01.2011 freigeschaltet ist.

\end{document}