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\newcounter{abc}
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  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 12}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 25.01.2011\\
\mbox{}\hfill Besprechung: 28.01.2011

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf Aufgabe 38: Differentialgleichungen}\\[2mm]
Bestimmen Sie die allgemeinen L{\"o}sungen der beiden Differentialgleichungen
\begin{align*}
  \mbox{(i)}\quad\frac{d^2y}{dx^2}-4\,\frac{dy}{dx}-5y = x^2 +2e^{3 x}\,,\qquad\mbox{(ii)}\quad\frac{d^2y}{dx^2}+10\,\frac{dy}{dx}+25y = 20\cos(2x)\,.
\end{align*}
{\it Hinweis:} Verwenden Sie die Ans{\"a}tze $y(x)=Ax^2+Bx+C+De^{3x}$ bzw. $y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)$, mit $A$, $B$, $C$, $D\in\mathbb{R}$, um eine partikul{\"a}re L{\"o}sung f{\"u}r (i) bzw.~(ii) zu bestimmen.

\vspace*{5mm}

{\bf (*) Aufgabe 39 (20P): Angetriebener harmonischer Oszillator}
\begin{letters}
\item Der mit der Kraft $F(t)$ angetriebene, ged{\"a}mpfte harmonische Oszillator wird durch die Bewegungsgleichung
  \begin{equation*}
    \ddot x+\rho\dot x +\omega_0^2 x = f(t)\,,\quad\mbox{mit}\quad f(t)=\frac{F(t)}{m}\,,\hfill(\ast)
  \end{equation*}
  beschrieben. Dabei bezeichnet $m$ die Masse, $\rho$ die D{\"a}mpfungskonstante und $\omega_0$ die Eigenfrequenz des Oszillators. Bestimmen Sie die allgemeine L{\"o}sung der Differentialgleichung ($\ast$) f{\"u}r $f(t)=f_0e^{i\omega t}$ mit $f_0$, $\omega\in\mathbb{R}$.\\[1mm]
  {\it Hinweis:} Verwenden Sie einen Ansatz vom Typ $x(t)=x_0\,e^{i\omega t}$, mit $x_0=|x_0|\,e^{i\delta}$, um eine partikul{\"a}re L{\"o}sung zu bestimmen.
\item Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz, bei der die Amplitude des Oszillators im station{\"a}ren Zustand ein Maximum erreicht, und geben Sie die maximale Amplitude an. Stellen Sie die Amplitude des Oszillators nach dem Einschwingvorgang als Funktion von $\omega$ graphisch dar.
\item Bestimmen Sie die L{\"o}sung der Differentialgleichung ($\ast$) f{\"u}r den Fall, dass keine D{\"a}mpfung vorhanden ist und die Frequenz der erregenden Kraft mit der Eigenfrequenz des Oszillators {\"u}bereinstimmt. Skizzieren Sie die L{\"o}sung.
\end{letters}

\vspace*{5mm}

{\bf Aufgabe 40: Deltafunktion}\\[2mm]
Die Dirac'sche $\delta$-Funktion ist eine Distribution mit der Eigenschaft
\begin{equation*}
  \int\limits_{-\infty}^\infty\!dx\,\delta(x)\,\phi(x) = \phi(0)
\end{equation*}
f{\"u}r alle Testfunktionen $\phi(x)$, das hei{\ss}t f{\"u}r unendlich oft differenzierbare $\phi(x)$ mit
\begin{equation*}
  \int\limits_{-\infty}^\infty\!dx\,|\phi(x)| < \infty\qquad\mbox{und}\qquad\lim_{x\to\pm\infty}\phi(x)\,x^n = 0\;\mbox{ f{\"u}r alle}\;n\in\mathbb{N}_0\,.
\end{equation*}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

Die $\delta$-Funktion l{\"a}{\ss}t sich nicht als gew{\"o}hnliche Funktion darstellen. Es gibt aber Funktionenfolgen $\delta_n$, die im Sinne einer Distribution gegen $\delta$ konvergieren, das hei{\ss}t
\begin{equation*}
  \lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\infty}^\infty\!dx\,\delta_n(x)\,\phi(x) = \phi(0)\,.
\end{equation*}
Wesentlich ist hierbei, dass der Limes au{\ss}erhalb des Integrals steht.
\begin{letters}
\item Zeigen Sie, dass f{\"u}r die Gau{\ss}'sche Glockenkurve im Distributionssinn
  \begin{equation*}
    \delta(x) = \lim_{\lambda\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\lambda}\exp\left(-\frac{x^2}{2\lambda^2}\right)
  \end{equation*}
  gilt, das hei{\ss}t beweisen Sie f{\"u}r beliebige Testfunktionen
  \begin{equation*}
    \lim_{\lambda\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\lambda}\int\limits_{-\infty}^\infty\!dx\,\exp\left(-\frac{x^2}{2\lambda^2}\right)\phi(x) = \phi(0)\,.
  \end{equation*}
\item Zeigen Sie analog zu (a), dass gilt:
  \begin{align*}
    \mbox{(i)}\;\displaystyle\,\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{\sin(nx)}{x}\,,\quad\mbox{(ii)}\;\displaystyle\,\delta(x)=\lim_{L\to\infty}\int\limits_{-L}^L\!\frac{dk}{2\pi}\,e^{ikx}\,,\quad\mbox{(iii)}\;\displaystyle\,\delta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{\pi}\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}\,.
  \end{align*}
\item Zeigen Sie au{\ss}erdem, dass gilt:
  \begin{align*}
    &\mbox{(i)}\;\delta(-x)=\delta(x)\,,\quad\mbox{(ii)}\;x\,\delta(x)=0\,,\quad\mbox{(iii)}\;\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\,\delta(x)\,,\\
    &\mbox{(iv)}\;\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}\left[\delta(x-a)+\delta(x+a)\right]\,.
  \end{align*}
\end{letters}

\vfill

\hrule

\vspace*{5mm}

{\bf Elektronische Anmeldung in QISPOS}\\
Bitte beachten Sie, dass die Anmeldung zu den Vorleistungen nur noch bis zum 21.01.2011 freigeschaltet ist.

\vspace*{2mm}

{\bf Information f{\"u}r Studenten der Sudieng{\"a}nge Bachelor Meteorologie und}\\
{\bf Lehramt Physik/Mathematik}\\
Um sich zu den Vorleistungen anzumelden, schicken Sie bitte bis sp{\"a}testens 21.01.2011 eine Email, die Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer enth{\"a}lt, an ewerth@particle.uni-karlsruhe.de.

\end{document}