\documentclass[11pt,twoside,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{geometry} \usepackage{pstricks} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{bbm} \usepackage{multicol,epsfig} \geometry{a4paper,left=25mm,right=25mm,top=30mm,bottom=30mm} \setlength{\mathindent}{5mm} \setlength{\parindent}{0mm} \pagestyle{empty} \newcounter{abc} \newenvironment{letters}{ \begin{list}{(\alph{abc})}{ \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm} } }{\end{list}} \begin{document} \centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I} \vspace*{.5em} \centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik} \vspace*{2em} Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 13}\\ {\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Abgabe: 01.02.2011\\ \mbox{}\hfill Besprechung: 04.02.2011 \hrulefill \vspace*{3mm} {\bf (*) Aufgabe 41 (12P): Mathematisches Pendel}\\[2mm] \begin{minipage}{11.5cm} \begin{letters} \item Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels lautet \begin{equation*} ml\ddot{\phi}+mg\sin\phi=0\,.\hfill(1) \end{equation*} Zeigen Sie, dass man f{\"u}r den Grenzfall kleiner Auslenkungen die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators erh{\"a}lt und bestimmen Sie die dazugeh{\"o}rige Schwingungsdauer $T_0$.\\[1mm] {\it Hinweis:} Entwickeln Sie die Funktion $\sin\phi$ bis zur f{\"u}hrenden Ordnung in eine Taylorreihe um den Punkt $\phi=0$ (d.h.~um die Ruhelage). Die Taylorreihe einer Funktion $f(x)$ um $x=x_0$ ist gegeben durch \begin{align*} f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i\,!}(x-x_0)^i+O((x-x_0)^{n+1})\,, \end{align*} wobei $f^{(i)}$ die $i$-te Ableitung der Funktion $f$ bezeichnet. \end{letters} \end{minipage} \begin{minipage}{3.5cm} \begin{flushright} \includegraphics[width=3cm]{pendel.eps} \end{flushright} \end{minipage} \begin{letters} \item[(b)] Zeigen Sie, dass der allgemeine Ausdruck f{\"u}r die Schwingungsdauer $T$ des mathematischen Pendels (1) gegeben ist durch \begin{equation*} T=4\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_0^{\phi_0}\!\frac{d\phi}{\sqrt{\cos\phi-\cos\phi_0}}\,,\hfill (2) \end{equation*} wobei $\phi_0$ die Maximalauslenkung bezeichnet.\\[1mm] {\it Hinweis:} Berechnen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes $E=ml^2\dot{\phi}^2/2+V(\phi)$ die Umkehrfunktion $t(\phi)$ der Bahnkurve (analog zu Aufgabe 30(b)) und leiten Sie daraus (2) ab. \item[(c)] Leiten Sie folgende zu Gleichung (2) {\"a}quivalente Form her: \begin{equation*} T=4\sqrt{\frac{l}{g}}\int_0^{\pi/2}\!\frac{dx}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\,,\quad k=\sin\frac{\phi_0}{2}\,.\hfill (3) \end{equation*} Gehen Sie dabei folgenderma{\ss}en vor: Ersetzen Sie $\cos\phi$ mit Hilfe der Relation $\cos\phi=1-2\sin^2(\phi/2)$ und f{\"u}hren Sie danach die Variablentransformation $\sin(\phi/2)=\sin(\phi_0/2)\sin x$ aus. \item[(d)] Bestimmen Sie die Abweichung der Schwingungsdauer des Pendels von der des harmonischen Oszillators ($T_0$). Entwickeln Sie dazu den Integranden aus (3) f{\"u}r $k\ll 1$ bis zur Ordnung $k^2$ und berechnen Sie das auftretende Integral. \end{letters} \vfill \mbox{}\hfill Bitte wenden. \newpage \begin{letters} \item[(e)] ({\it freiwillig}) Bestimmen Sie die zu dieser N{\"a}herung geh{\"o}rige L{\"o}sung $\phi(t)$ f{\"u}r die Anfangsbedingung $\phi(0)=\phi_0$. Gehen Sie dabei folgenderma{\ss}en vor:\\[1mm] $\bullet$ Entwickeln Sie $\sin\phi$ in Gleichung (1) bis einschliesslich $O(\phi^3)$ und verwenden Sie den \hspace*{3.5mm}Ansatz $\phi(t)=\phi^{(1)}(t)+\phi^{(2)}(t)$ mit $\phi^{(2)}(t)\ll\phi^{(1)}(t)$ und $\phi^{(1)}(t)=\phi_0\cos(\omega t)$, wobei \hspace*{3.5mm}$\omega=\omega_0+\omega^{(2)}$.\\[1mm] $\bullet$ Zeigen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (d), dass $\omega^{(2)}=-\phi_0^2\omega_0/16$ gilt.\\[1mm] \hspace*{3.5mm}{\it Hinweis:} Vernachl{\"a}ssigen Sie Terme der Ordnung $(\omega^{(2)})^n$ mit $n\ge2$.\\[1mm] $\bullet$ Bestimmen Sie die Differentialgleichung f{\"u}r $\phi^{(2)}(t)$ und l{\"o}sen Sie diese.\\[1mm] \hspace*{3.5mm}{\it Hinweis:} Beachten Sie, dass $\phi^{(2)}(t)$ von der Ordnung $\phi_0^3$ ist und vernachl{\"a}ssigen Sie alle \hspace*{3.5mm}Terme der Ordnung $\phi_0^n$ mit $n\ge4$. Ersetzen Sie $\cos^3x$ mit Hilfe der Relation $\cos^3x=$ \hspace*{3.5mm}$(3\cos x+\cos 3x)/4$. F{\"u}r die partikul{\"a}re L{\"o}sung bietet sich der Ansatz $\phi^{(2)}_p(t)=C\cos(3\omega t)$ \hspace*{3.5mm}mit $C\in\mathbb{R}$ an. \end{letters} \vspace{5mm} {\bf (*) Aufgabe 42 (8P): Green'sche Funktion}\\[2mm] Die Green'sche Funktion $G(t,t^\prime)$ f{\"u}r den ged{\"a}mpften harmonischen Oszillator erf{\"u}llt die Dif\-ferentialgleichung \begin{equation*} \left(\frac{d^2}{dt^2}+\rho\,\frac{d}{dt}+\omega_0^2\right)G(t,t^\prime)\,=\,\delta(t-t^\prime)\,.\hfill(4) \end{equation*} \vspace*{-4mm} \begin{letters} \item Bestimmen Sie die Green'sche Funktion $G(t,t^\prime)$ f{\"u}r den Kriechfall ($w_0<\rho/2$). \item Bestimmen Sie f{\"u}r den Kriechfall die L{\"o}sung der Bewegungsgleichung des angetriebenen harmonischen Oszillators \begin{equation*} m\left(\frac{d^2}{dt^2}+\rho\,\frac{d}{dt}+\omega_0^2\right)\,x(t)\,=\,F(t)\hfill(5) \end{equation*} f{\"u}r die Kraftfunktionen\\[1mm] (i) $F(t)=F_0\,t\,\theta(t)\theta(t_0-t)$ mit $t_0>0$ und\\[1mm] (ii) ({\it freiwillig}) $F(t)=F_0\,\sin(\omega t)\theta(t)$.\\[1mm] Benutzen Sie dazu die in Teilaufgabe (a) bestimmte Green'sche Funktion um einen partikul{\"a}re L{\"o}sung von $(5)$ zu bestimmen. Wie lautet die allgemeine L{\"o}sung von $(5)$ f{\"u}r die Anfangsbedingungen $x(0)=0$, $\dot{x}(0)=0$? Untersuchen Sie die L{\"o}sung f{\"u}r Fall (ii) f{\"u}r gro{\ss}e Zeiten $t$ und zeigen Sie, dass die L{\"o}sung in diesem Limes mit der aus Aufgabe 39 (a) {\"u}bereinstimmt.\\[1mm] {\it Hinweis:} \begin{align*} &\int\!\!{\rm d}y\,y\,e^{a(x-y)} = -\frac{ay+1}{a^2}\,e^{a(x-y)}\,,\\[1mm] &\int\!\!{\rm d}y\sin(by)\,e^{a(x-y)} = -\frac{1}{a^2+b^2}[b\cos(by)+a\sin(by)]e^{a(x-y)}\,. \end{align*} \end{letters} \vspace{10mm} \hrule \vspace{2mm} {\bf Bitte beachten Sie die Ank{\"u}ndigung der schriftlichen Pr{\"u}fung auf} \vspace*{1mm} \begin{center} {\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/} \end{center} \vspace*{1mm} \end{document}