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\newcounter{abc}
\newenvironment{letters}{
  \begin{list}{(\alph{abc})}{
      \usecounter{abc}\setlength{\leftmargin}{8mm}\setlength{\labelsep}{2mm}
    }
}{\end{list}}

\begin{document}

\centerline{\bf\LARGE Klassische Theoretische Physik I}

\vspace*{.5em}

\centerline{Institut f{\"u}r Theoretische Teilchenphysik}

\vspace*{2em}

Prof.~Dr.~M.~Steinhauser, Dr.~T.~Ewerth\hfill{\bf WS 10/11 -- Blatt 14}\\
{\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}\hfill Besprechung: 11.02.2011

\hrulefill

\vspace*{3mm}

{\bf Aufgabe 43: Gekoppelte Kugeln}\\[2mm]
\begin{minipage}{10cm}
  Zwei Massenpunkte der Masse $m$ seien {\"u}ber eine Schnur der L{\"a}nge $l$ miteinander verbunden (siehe Abbildung). Einer der Massenpunkte gleitet reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene, der andere kann unter dem Einflu{\ss} der Schwerekraft eine vertikale Bewegung ausf{\"u}hren. Benutzen Sie zur Beschreibung des Systems ebene Polarkoordinaten $(r,\phi)$, wobei der Ursprung auf dem Loch sitzt, durch das die Schnur verl{\"a}uft.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
  \begin{flushright}
    \includegraphics[width=4.5cm]{kugeln.eps}
  \end{flushright}
\end{minipage}
\begin{letters}
\item Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems auf. Welche Bewegungsgleichung k{\"o}nnen Sie sofort integrieren?
  Welcher Erhaltungssatz steckt dahinter?
\item Zeigen Sie, dass sich der obere Massenpunkt auf Kreisbahnen bewegen kann, und bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit in Abh{\"a}ngigkeit vom Kreisradius.
\item Zeigen Sie, dass die Bewegung des oberen Massenpunktes auf einer Kreisbahn stabil verl{\"a}uft. Benutzen Sie dazu den Ansatz $r(t)=r_0+\rho(t)$, wobei $\rho(t)$ eine kleine St{\"o}rung der Kreisbahn mit Radius $r(t)=r_0$ darstellt $(\rho(t)\ll r_0)$ und dr{\"u}cken Sie die Winkelgeschwindigkeit des oberen Massenpunktes durch seinen Drehimpuls bzgl.~des Ursprungs aus. Entwickeln Sie nun die Bewegungsgleichung f{\"u}r $r(t)$ f{\"u}r kleine $\rho(t)$ und zeigen Sie, dass die St{\"o}rung zu harmonischen Schwingungen um die Kreisbahn f{\"u}hrt. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer des Systems als Funktion von Kreisradius und Erdbeschleunigung.
\end{letters}

\vspace{5mm}

{\bf Aufgabe 44: Magnetischer Monopol}\\[2mm]
Betrachten Sie im folgenden einen magnetischen Monopol, der das Feld
\begin{align*}
  \vec{B}(\vec{r}\,)=k\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,,\quad r=|\vec{r}|\,\quad k>0\,,
\end{align*}
erzeuge. Ein sich aus dem Unendlichen n{\"a}herndes Elektron erf{\"a}hrt aufgrund der Lorenzkraft
\begin{align*}
  \vec{F}(\vec{r}\,)=-e\left[\dot{\vec{r}}\times\vec{B}(\vec{r}\,)\right]\,,\quad e>0\,,
\end{align*}
 die Beschleunigung
\begin{equation*}
  \ddot{\vec{r}}=-\frac{ek}{mr^3}\left(\dot{\vec{r}}\times\vec{r}\right)\,.\hfill(\ast)
\end{equation*}
\vspace*{-4mm}
\begin{letters}
\item Schreiben Sie die Bewegungsgleichung ($\ast$) um in Kugelkoordinaten, wobei sich der Koordinatenursprung im Monopol befinden soll.
\end{letters}

\vfill

\mbox{}\hfill Bitte wenden.

\newpage

\begin{letters}
\item[(b)] Zeigen Sie, dass der Vektor
  \begin{equation*}
    \vec{J}=\vec{L}+ek\,\frac{\vec{r}}{r}\,,\quad\vec{L}=m\left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right)\,,\hfill(2)
  \end{equation*}
  eine Erhaltungsgr{\"o}{\ss}e ist. Was folgt daraus f{\"u}r die Bahnkurve des Elektrons?
\item[(c)] Integrieren Sie die Bewegungsgleichungen, das hei{\ss}t bestimmen Sie $r(t)$, $\phi(t)$ und $\theta(t)$.\\[1mm]
  {\it Hinweis:} Eine der Integrationskonstanten kann {\"u}ber die Energieerhaltung bestimmt werden.
\item[(d)] Bestimmen Sie $r(\phi)$ und skizzieren Sie die Bahnkurve.
\end{letters}

\vfill

\hrule

\vspace{2mm}

{\bf Schriftliche Pr{\"u}fung}\\
Die schriftliche Pr{\"u}fung findet am Mittwoch, dem 16.02.2011, um 8:00 Uhr in den H{\"o}rs{\"a}len Gerthsen, Daimler und Benz statt. Bitte beachten Sie die offizielle Ank{\"u}ndigung der schriftlichen Pr{\"u}fung auf

\vspace*{1mm}

\begin{center}
  {\tt http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/\~{}ewerth/}
\end{center}

\vspace*{1mm}

Die Einteilung der H{\"o}rs{\"a}le wird am Dienstag, dem 15.02.2011, nach 16:00 Uhr auf obiger Webpage bekannt gegeben. 

\end{document}